Question

如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D ，AD=9、BD=4

以C为圆心、CD为半径的圆与⊙O相交于P、Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（ ）
我知道答案是27但不知道为什么，可以把过程写得详细点么谢谢~

Answer 1

延长CD交⊙O于M、延长DC交⊙C于N。
∵AB是⊙O的直径、AB⊥CM，∴DM＝CD。
显然有：CN＝CD。
对于⊙O来说，由相交弦定理，有：PE×EQ＝CE×EM＝CE×（DM＋DE）＝CE×（CD＋DE）。
对于⊙C来说，由相交弦定理，有：PE×EQ＝DE×EN＝DE×（CE＋CN）＝DE×（CE＋CD）。
∴CE×（CD＋DE）＝DE×（CE＋CD），　∴CE×CD＋CE×DE＝DE×CE＋DE×CD，
∴CE＝DE，　∴CE＝CD/2、EM＝DE＋EM＝CD/2＋CD＝3CD/2。
∴PE×EQ＝CE×EM＝（CD/2）×（3CD/2）＝（3/4）CD^2。

∵AB是⊙O的直径、CD⊥AB，　∴由圆幂定理，有：CD^2＝AD×BD＝9×4＝36。
∴PE×EQ＝（3/4）CD^2＝（3/4）×36＝27。

Answer 2

解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2=AD•DB，AD=9，BD=4，
∴CD=6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ=DE•EM=CE•EN，
设CE=x，则DE=6-x，
则（6-x）（x+6）=x（6-x+6），
解得x=3．
所以，CE=3，DE=6-3=3，EM=6+3=9．
所以PE•EQ=3×9=27．