Question

关于高数的一个问题，视频里的老师说 "ds" 可以换成 那个根号里的一窜后面再乘以一个” dt “，为甚啊？

这个是在讲那个对曲线积分的时候的内容，曲线是由x=x（t），y=（t），z=z（t）的参量方程表示的。已经截图了，帮忙看看哈，详细点，谢谢

Answer 1

在学到一元函数的导数的应用时，有一个内容是弧微分。设曲线方程是y=f(x)，定义弧长函数，根据导数的定义，可以得到弧长函数的导数ds/dx＝√[1+(y')^2]，所以弧微分ds=√[1+(y')^2]dx=√[(dx)^2+(dy)^2]。根据曲线方程的不同形式变化，比如曲线的参数方程是x=x(t),y=y(t)，则ds=√[(x'(t))^2+(y'(t))^2]dt。
同样地，对空间曲线，弧微分ds=√[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]。若曲线的参数方程是x=x(t),y=y(t),z=z(t)，则ds=√[(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2]dt。
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翻翻课本吧，教材上都有

Answer 2

弧微分公式就是这样的：
平面曲线：ds= √(x'(t)^2+y'(t)^2) dt
空间曲线：ds=√(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2) dt