Question

已知三角形ABC的a,b,c的长均为正整数,且a小于等于b小于等于c,若b=k,则满足要求的三角形ABC的个数。用k表示

Answer 1

三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边
所以 b-a<c<a+b

由于a≤b，可知a可能等于1,2，3,……k, c≥b所以c≥k.
若a=1,b=k, 则k-1<c<k+1, c≥k由题意可知c=k.此时1个三角形。
若a=2,b=k, 则k-2<c<k+2, c≥k由题意可知c= k,k+1，此时2个三角形。
若a=3,b=k, 则k-3<c<k+3, c≥k 由题意可知c=k,k+1,k+2. 此时3个三角形。
……………………
若a=k,b=k, 则0<c<2k, c≥k由题意可知c=k,k+1,k+2,k+3,……，2k-1,
此时k个三角形。

共1+2+3+……+k=k(k+1)/2个三角形

【例】三角形ABC的三边abc都是正整数，且满足a小于等于b，b小于等于c，如果b=4，那么，这样的三角形共有多少个？

三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边
所以 b-a<c<a+b

由于a≤b，可知a可能等于1,2，3,4 c≥b所以c≥4
若a=1,b=4, 则3<c<5 由题意可知c=4
若a=2,b=4, 则2<c<6 由题意可知c=4,5
若a=3,b=4, 则1<c<7 由题意可知c=4,5,6
若a=4,b=4, 则0<c<8 由题意可知c=4,5,6,7

共1+2+3+4=10个三角形

Answer 2

a<=k<=c
a取值为1~k
a取i时，k<=c<i+k, c有k+i-k=i个选择
所以答案＝1+....+k
=(k+1)k/2

Answer 3

a<= b<= c
b=k
三角形条件： a+b>c
而0<a<=k ，c>k。
那么 k<a+b<2k
b=c=k的时候，有k个(a=1~k)
c=b+1 的时候有k-1个(a=2~k)
...
c=2b-1的时候 1个 (a=b=k )

加起来 1+2+…+k = k(k+1)/2