Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

连接AB，线段AB的中点为D（图1）
（1）求点B、点D的坐标；
（2）求以B为顶点且经过坐标原点O点的抛物线的解析式；（图2）
（3）在（2）中的抛物线上是否有一点P，使得PA=PB？若有，求P点的坐标；若没有，请说明理由

Answer 1

解：1，由题意得B（1，-根3），D（-1/2，-根3/2）。 2，设经过O，且顶点为B的抛物线解析式为y=a(x-1)²-根3，把x=0，y=0代入，得y=根3（x-1）²-根3=根3x²-2根3x。 3，设P（x,y),则PA²=（x+2)²+y²，PB²=（x-1）²+(y+根3）²， 若PA=PB，则有3x=根3y, .因为y=根3x²+2根3x,所以，x=0，或x=-1，所以P(0,0），或P(-1,0).

Answer 2

解：
（1）点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB，所以OB=OA=2，过B点作BD垂直X轴于D，依题意有角AOB=120°，所以角BOD=60°，则OD=1，BD=根号3，即点B的坐标为（1，根号3）。
（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c，把A、O、B三点代入，求得a=根号3/3，b=2根号3/3，c=0，所以经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y=(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3。
（3）y=(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3化为y=(3根号3)(x+1)^2/3-(2根号3)/3。所以抛物线的对称为
x=-1，因为A点和O点是关于抛物线对称轴对称的点，连接AB交抛物线对称轴于C，所以点C即为所求。AB的解析式可求得为y=根号3x/3+(2根号3)/3，把x=-1代入，求得y=根号3/3，所以点C的坐标为（-1，根号3/3）。
（4）连接PA、PB，过P作PF垂直X轴于点F交AB于E，设P（x，(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3），E为(x，根号3x/3+(2根号3)/3)，EP=根号3x/3+(2根号3)/3-[(3根号3)x^2/3+(2根号3)x/3]=-(根号3/3)(x+1/2)^2+11根号3/12，则S△PAB=S△PAE+S△ABE
　　　　　　　　　　　　　=0.5*AF*EP+0.5*DE*EP=0.5*3*EP=3EP/2
　　　　　　　　　　　　　=-3(根号3/6)(x+1/2)^2+33根号3/24
所以当x=-1/2时，△PAB是否有最大面积33根号3/24，此时求得点P的坐标为（-1/2，-根号3/4）

Answer 3

1：B(1,根号3)
2：过原点的抛物线方程为y=aX^2+bX, 代入（-2，0）（1，根号3），得：
y=根号3*X^2/3 +2X根号3/3
3。对称轴方程为x=-1,他上面的点C坐标为（-1，Y）。OB=2是固定的，△BOC是
BC+OC+2， OC^2=1+Y^2, BC^2=4+(根号3-Y)^2. 只要算OC+BC有没有最小值就可以了，输入符号不方便，就不算了

Answer 4

（1）B点坐表为（1，根号3）.D点坐标为（—1/2,—根号3/2）。（2）y=a(x—1)+根号3，把坐标原点带入可求得a,a=根号3.（3）设P点坐标为（x,y）（x+2）*（x+2）+y*y=(x—1)*（x—1）+(y+根号3)*(y+根号3)。……y=根号3（x—1）+根号3……。这两个式子就可解出p点坐标。