Question

求助 数学分析 二重积分的问题

求详细做题过程

Answer 1

用格林公式
原式=∫∫dxdy - ∫(2πa,0)(-xe^x)dx = I1 - I2
其中I1=∫(0,2πa)dx∫(0,y)dy
=∫(0,2πa)ydx
代入参数方程
=∫(0,2π) a(1-cost) d(a(t-sint))
=∫(0,2π) a^2 * (1-cost)^2 dt
=a^2 * ∫(0,2π) [(cost)^2-2cost +1]dt
(cost积分为0）
=a^2 * ∫(0,2π) [(1+cos2t)/2 + 1]dt
(cos2t积分为0)
=(3/2)a^2
I2=∫(2πa,0)(-xe^x)dx
=∫(0,2πa) xe^xdx
=(0,2πa) d(x-1)e^x
=1 + (2πa-1)e^(2πa)
所以原式=(3/2)a^2 - (2πa-1)e^(2πa) - 1