Question

在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为△ABC外一点

∠ADB=45°，连接CD，AD=4倍根号2，CD=10，则四边形ACBD的面积为多少

Answer 1

解：分别过点B ,C作BE垂直AD于E ,CF垂直AD交DA的延长线于F
所以S三角形ABD=1/2AD*BE
角BED=角BEA=90度
角CAF=90度
因为角BED+角ADB+角DBE=180度
角ADB=45度
所以角DBE=45度
所以角ADB=角DBE=45度
所以BE=DE
因为角BEA+角ABE+角BAE=180度
所以角BAE+角ABE=90度
因为角BAE+角BAC+角CAF=180度（平角等于180度）
角BAC=90度
所以角BAE+角CAF=90度
所以角ABE=角CAF
因为角BEA=角CFA=90度 (已证)
AB=AC
所以三角形ABE全等三角形CAF (AAS)
所以BE=AF=DE
AE=CF
因为AD=DE+AE=4倍根号2
CF=AE=AD-DE=4倍根号2-DE
DF=AD+AF=4倍根号2+DE
所以在直角三角形CFD中 ，角CFA=90度
所以CD^2=DF^2+CF^2
AF=DE=BE=3倍根号2
AE=CF=根号2
所以S三角形ABD=12
在直角三角形CFA中，角CFA=90度
AC^2=AF^2+CF^2
所以AB=AC=2倍根号5
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以S三角形ABC=1/2AB*AC=10
因为S四边形ABCD=S三角形ABD+S三角形ABC=12+10=22
所以S四边形ABCD=22
所以四边形ABCD的面积是22