Question

高等数学，关于二重积分，如图第三行为什么dudv=dxdy？感觉不对啊

顺便求该题的详解

Answer 1

你陷入了一种误区，由于二重积分只有两个变量，所以你误认为二重积分是在二维坐标系下的了。 实际上二重积分隐含了一个因变量，所谓的“二重积分积出来一个体积”这个说法就是基于因变量是三维坐标系下z的坐标得出的。 首先回想积分，∫ f(x)dx在数学上表示什么含义？表示的是x在x等于某数例如x0的时候，f(x)可以得到确切的值，如果我们加入一个坐标轴y,那我们就可以用(x0,f(x0))来表示一个点，并可以得到（x0,0）与(x0,f(x0))之间的连线。当给x不同的值的时候，一个x就对应一个y，明显这条线也动了起来，然后就得到了一个平面，这个平面面积的大小就是积分的数值。加上积分限以后无非是给x一个移动范围而已。 然后看重积分，我们同样给它加上一个坐标轴，让z=f(x,y)，那么每一个x,y给它一个值都能算出来一个z，这样(x,y,z)就能得到一个点，同样的，我们也就能得到（x,y,f(x,y)）到(x,y,0)的连线，然后给x,y不同的值，并且给它们一个移动的范围（就是积分限）让这条线动起来，这条线取到所有可以积分限内的点，那就构成了一个立体，这个立体的体积就是积分算出来的数值。 我们只需要x的信息就可以算出来f(x)在二维坐标系下与x轴之间的面积，但是你绝对不可能简单的只从一维坐标系下考虑 ∫ f(x)dx，因为y的信息实际上隐含了。同样也不可能只通二维坐标系下考虑二重积分，因为实际隐含了一个z坐标轴的信息。 至于算面积的话那就不是重积分的几何意义了，那得引入新的东西，这个恐怕要等您高数学完才能解决了。