Question

已知函数f(x)=2ax-1/x^2+1，x∈(0,1]，a∈R

(1)当a=1时,函数f(x)的图像是否总在直线y=2的下方，并说明理由
(2)当f（x）在x∈(0,1]上是增函数时，求实数a的取值范围
(3)求f（x）在x∈(0,1]上的最大值
要详细的过程 谢谢

Answer 1

(1)当a=1时,f(x)=2x-1/x^2+1，x∈(0,1]，
f'(x)=2+2/x^3>0 , f(x)在x∈(0,1]上单调递增，
所以 f(x)mas=f(1)=2
即当a=1时,函数f(x)的图像是否总在直线y=2的下方
（2）当f（x）在x∈(0,1]上是增函数时
f'(x)=2a+2/x^3>0 因为x^3>0
所以ax^3+1>0 即a>-1/x^3
解得a属于（-1，正无穷）
（3） f'(x)=2a+2/x^3
当a=0时，f'(x)>0 所以f(x)在R上单调递增
即f（x）在x∈(0,1]上的最大值为f(1)=0
当a>0时，令f'(x)=0得x=(-a)的-1/3次方 小于0
易知f（x）在(-a)的-1/3次方到正无穷上单调递增
所以f（x）在x∈(0,1]上的最大值为f(1)=0
当a<0时，f（x）在0到(-a)的-1/3次方上单调递增，在(-a)的-1/3次方到正无穷上单调递减。
若x=(-a)的-1/3次方<1 即a<-1 则f（x）在x∈(0,1]上的最大值为f(-a的-1/3次方）=。。。
若x=(-a)的-1/3次方>或=1 即0>a≥-1 则f（x）在x∈(0,1]上的最大值为f(1)=0
综上所述 当a≥-1时f（x）在x∈(0,1]上的最大值为f(1)=0
当a<-1时f（x）在x∈(0,1]上的最大值为。。。（自己解吧，懒得写）

Answer 2

求f(x)的导数 f'(x)=2a(1-x^2)/(x^2+1)^2≥0，因为(1-x^2)/(x^2+1)^2在（0，1]上是大于等于0的，
那么有a≥0。