Question

如图,P为正方形ABCD边BC上任一点,BG⊥AP于点G,在AP的延长线上取点E,使AG=GE,

连接BE,CE(BE=CB) (1)∠CBE的平分线交AE与N点连接DN,求证BN+DN=√2AN

Answer 1

证明：连接BD。设∠BAP=θ，因为BG垂直评分AE，所以∠AEB=θ，∠ABE=180°-2θ，
∠CBE=90-2θ
BE=BA=BC，∠CBN=∠EBN=45°-θ，∠BNG=∠BEA+∠EBN=45°，故∠BNG=∠NBG=45°，
BN=√2GN=√2BG
∠DBN=∠DBC+∠CBN=45°+45°-θ=90°-θ，∠ABG=90°-θ
在△ABG与△DBN中，AB/DB=BG/BN=√2/2，∠ABG=∠DBN，所以△ABG∽△DBN，AG/DN=AB/DB=√2/2
即是DN=√2AG
所以BN+DN=√2GN+√2AG=√2AN

Answer 2

菁优网答案：
（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分线段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；

（3）证明：连接CN，延长BN交CE于H．
自点D作DM⊥AN于M，
显然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，
延长AE交DC延长线于F，则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五点共圆，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，
√2DM=√2AG=DN，√2GN=BN，√2AG+√2GN=√2AN=BN+DN；

Answer 3

如果求的角度的话,ANB=45度ANB=180度-BAE-90度-PBN=90度-BEG-PBN=90度-GBP-PBN(角BAE=BEA,不求证了)所以BEG=GBNANB=BEG+EBN=GBN+NBP=GBN=45度(角PBN=NBE,不求证了)