Question

如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O做直线MN平行BC,设MN交角BCA的角平分线于点E，交角BCA

的外角平分线于点F，
1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明;
2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？
若是，请证明，若不是，则说明理由;
3)当点O运动到何处，且三角形ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer 1

如图，令D是BC延长线上的一点。

（1）∵EF∥BC，CE、CF所在线段（或射线）分别是∠ACB的内外角平分线

     ∴∠BCE=∠OCE=∠OEC，∠OFC=∠FCD =∠OCF，

      即△OCE与△OCF均为等腰三角形，

     ∴ ∠OE=OC=OF

（2）BCFE不会是菱形，若不然，设BCFE是菱形，则必有：

     BC=CF=FE=EB，而△ECF是直角三角形（因为∠ECF=1/2(∠ACB+∠ACD)=90°）

     直角边CF必小于斜边EF，即CF<EF，这与假设矛盾。

（3）当O为AC的中点，即OA=OC时，又∵OE=OF， 

     ∴四边形AECF则是平行四边形（对角线互相公平分的四边形是平行四边形）

     又∵∠ECF=90°，所以四边形AECF则是矩形。

      根据三角形内角平分线的定义，△ABC是直角或锐角三角形。

Answer 2

1.OE=OF,证明，设BC延长线过G点，因为MN//BC，所以∠GCF=∠OFC，又因为CF为∠ACG角平分线，所以∠GCF=∠OCF，所以∠OCF=∠OFC，因此三角形OFC是等边三角形，所以OC=OF。同理可证，OC=OE，所以OE=OF。
发现有人证明了，就不继续了！