Question

已知数列an的奇数项是公差d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列Sn是前n项和，a1=1,a2=2

（1）若S5=16,a4=a5，（2）已知S15=15a8，且对任意n，有an<an+1
(1)若S5=16,a4=a5，求a10 (2)已知S15=15a8，且对任意n+，有an<an+1恒成立，求证{an}等差数列。 （3）若d1=3d2(d1不等于0)，且存在正整数m n (m不等于n)，使得am=an,求当d1最大时，数列{an}通项公式

Answer 1

1、根据题意，有
a1=1，a2=2,a3=a1+d1=1+d1,a4=a2+d2=2+d2 ,a5=a3+d1=1+2d1
a1+a2+a3+a4+a5=S5=16 ----------------(1)
a4=a5 --------------------(2)
联立（1）（2）式，就可以解得d1=2 ,d2=3。
a10=2+4d2=14
2、推荐用反证法：a2n=2+(n-1)d2 a(2n-1)=1+(n-1)d1
于是根据题意有：a2n+1>a2n>a2n-1恒成立，于是得到：
1+nd1>2+(n-1)d2 >1+(n-1)d1
而d1和d2的关系无外乎三种：d1>d2,d1=d2,d1<d2，只要我们排除了他们不等的情形，那么剩下的必然就是相等了。
因此：不妨设d1<d2,此时我们解1+nd1>2+(n-1)d2容易得到：n(d2-d1)<d2-1=c，右边是一个常量，左边是一个单增量，n趋于无穷的时候此式的值也是无穷，显然他对于任意的n不成立，所以d1<d2是错误的；
同样，我们再设d1>d2，此时我们解2+(n-1)d2 >1+(n-1)d1得到：n(d1-d2)<d1-d2+1=c，同样容易知道这个不等式对于任意的n并不是恒成立的，
所以只能是d1=d2才能满足条件：an＜an+1恒成立
既然d1=d2，那么我们把他带入S15=15a8很容易解得：d1=d2=2，
但是此时我们并没有得证{an}是等差数列，所以剩下最后一步：
a2n=2+(n-1)d2 a(2n-1)=1+(n-1)d1 a2n+1=1+nd1
a2n-a2n-1=1
a2n+1-a2n=d-1
此时带入前面解出的d=2，证得 a2n-a2n-1=a2n+1-a2n=1
至此证毕
（3）首先两个子数列都是等差数列且公差不为0，所以各自内没有相等的项
不妨偶数项中的第k项等于奇数项中的第m项
所以2+(k-1)d2 =1+3(m-1)d2
化简得 3=（3m-k-2)d2
因要求d1最大时，而3m-k-2是整数，所以当d2=3时是最大的，此时可取m=2,k=3
所以数列{an}通项公式是当n为奇数时 an=9n/2-7/2
当n为偶数时an=3n/2-1

Answer 2

(1)由题意知，a1,a3,...为公差为d1的等差数列，
a2,a4,...为公差为d2的等差数列，
S5=a1+a2+a3+a4+a5=a3+2a4+3=16,得a1+d1+2a2+2d2=13
而且a4=a5即a2+d2=a1+2d1
解得d1=2,d2=3
a10=a2+4d2=14