Question

如图，正方体ABCD~A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF.(1)求证：EF平形平面BB1C1C. （若正方体...

如图，正方体ABCD~A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF.(1)求证：EF平形平面BB1C1C. （若正方体棱长为4.且B1E=根号2.求三棱锥E~ABF的体积，

Answer 1

如图，正方体ABCD~A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF.(1)求证：EF平形平面BB1C1C.  （若正方体棱长为4.且B1E=根号2.求三棱锥E~ABF的体积，

(1)证明：如图所示：∵正方体ABCD~A1B1C1D1中，B1E=BF

∴BD=AB1==>BF/BD=EB1/AB1

过F作FG//AD交AB于G ，连接EG

∴BF/BD=BG/AB==> BG/AB=EB1/AB1

∴EG//BB1==>BB1//面EFG

∵BB1⊥底面ABCD

∴面EFG⊥底面ABCD

又面BB1C1C⊥底面ABCD

∴面EFG//面BB1C1C

∴EF//面BB1C1C

(2)解析：∵正方体ABCD~A1B1C1D1中，棱长=4，B1E=√2

∴BF=√2

S(⊿ABF)=1/2AB*Bfsin45°=2√2*√2/2=2

EG/BB1=AG/AB==>EG/4=(4-BG)/4==>EG=3

∴V(E-ABF)=1/3*EG* S(⊿ABF)=2

Answer 2

(1)做FF'垂直BC，交BC于F'点，显然，FF'//DC
因为DC⊥CC1，DC⊥BC，所以DC⊥平面BB1C1C，所以FF'⊥平面BB1C1C，F'为F在平面BB1C1C上的投影，FF'为F点到平面BB1C1C的距离。
做EE'垂直BB1，交BB1于E'点，显然EE'//A1B1
因为A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，所以A1B1⊥平面BB1C1C，所以EE'⊥平面BB1C1C，E'为E在平面BB1C1C上的投影，EE'为E点到平面BB1C1C的距离。
显然：FF'=BF/√2，EE'=B1E/√2，因为BF=B1E
所以FF'=EE'，所以EF//平面BB1C1C
(2)显然E'B1=B1E/√2=1，所以三棱锥E-ABF的高为：BB1-E'B1=3，底面积为(1/2)×AB×BFsin45°=2
所以三棱锥的体积为：(1/3)×2×3=2

Answer 3

，