Question

如图,在梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC=3cm,BC=4cm,∠B=60°

点P从A点开始沿AB边向点B运动，点Q从点C开始沿CD边向点D运动，过点Q做QE∥AB交BC于E，连接AQ、PE，点P、Q同时出发且均以1cm每秒的速度运动。
点P运动到何处时，四边形APEQ是菱形？
初二数学，不要用什么余弦定理！
快点

Answer 1

因为QE∥AB 所以∠B=∠QEC=60°
又在梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，
所以∠QEC=∠C=60°，所以△CEQ是等边三角形
所以QE=QC,
因为点P,Q同时出发，且均以1cm/s的速度运动所以AP=QC,
所以AP=QE,又QE∥AB所以四边形APEQ是平行四边形
设点P运动t秒后，平行四边形APEQ是菱形
所以AP=PE=EC=t,BE=4-t,
过P作PG⊥BC于G
所以PG=(3-t)√3/2, BG=(3-t)/2,
所以GE=4-t-(3-t)/2=5/2-t/2
在三角形PGE中由勾股定理得
t=13/7

由AD=DC=3cm,∠B=60°，得BF=3/2,所以AD=BC-2*BF=4-3=1因为△ECQ是等边三角形，所以∠EQC=60°因为四边形APEQ是矩形，所以∠AQE=90°所以∠AQD=180-90-60=30°又∠DAQ=∠DAB-90-30所以∠DAQ=∠AQD所以AD=DQ,即3-t=1，解得t=2所以点P运动2秒后，平行四边形APEQ是矩形

Answer 2

点P从A点开始沿AB边向点B运动，点Q从点C开始沿CD边向点D运动，过点Q做QE∥AB交BC于E，连接AQ、PE，点P、Q同时出发且均以1cm每秒的速度运动。
点P运动到何处时，四边形APEQ是菱形？
解：设经过t秒后APEQ是菱形。此时，AP=PE=EQ=QA=CQ=EC=t；PB=PQ=3-t；BE=4-t；AD=1
延长BA、CQ，使之相交于G，则△GAD是边长为1的等边三角形，过A作AM⊥GD，M为垂足，则
M是GD的中点，故DM=1/2；AM=√(AD²-DM²)=√[1-(1/2)²]=√3/2；再在RT△AMQ中使用勾股定理
得：AQ²=AM²+QM²，用AQ=t，AM=√3/2，QM=1/2+(3-t)=7/2-t代入得：
t²=3/4+(7/2-t)²=3/4+49/4-7t+t²=52/4-7t+t²；于是得7t=52/4=13，故t=13/7(秒)；
即当AP=13/7(cm)时四边形APCQ是菱形。