Question

遇到这种级数应该怎么判别敛散？

你比如说((-1)^(n+1))*(1/(2n+1))
以及((-1)^n)*(1/(2n+1))
莱布尼茨定理中的（-1）是n-1次方的，但假如这个-1是N次方或者n+1次方我该怎么办？
还有，级数-1/(2n+1)怎么判断敛散？这是负项级数，比值审敛要求正项，比较审敛吗的也需要是正项。
哎。感激不尽。

Answer 1

你好！
“数学之美”团员448755083为你解答！

调和级数
A = ∑(1/n) = 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + ....
显然
1/3>1/4 → 1/3 + 1/4 > 1/2
1/5>1/8 |
1/6>1/8 } → 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2
1/7>1/8 |
同理我们可以得到
A>1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + .....
因此可以看到A明显发散。

级数∑[-1/(2n+1)] = -∑[1/(2n+1)] = -∑[1/(2n)] - [1/(2n+1)] = -0.5A - [1/(2n+1)] ，表明该级数由一个发散的级数和一个收敛数相加而成，该级数发散。

另外，莱布尼茨定理其实只要两个条件，就是正负项交错级数除了负号项所剩下的数列项，只要该数列收敛且趋近于0，那么这个正负项级数收敛。
像你所列举的((-1)^(n+1))*(1/(2n+1))和((-1)^n)*(1/(2n+1))，除了符号项外所剩余的都是数列1/(2n+1)，这个数列上面已经证明了其实就是调和级数，是发散的，因此你所列举的这些级数都发散，这与前面的符号项的次数没关系，因为符号项不管是多少次，其实决定的都只是正负项交错这一件事情罢了。

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