Question

将函数f(x)=1/x展开成(x-1)的幂级数，并求展开式成立区间

将函数f(x)=1/x展开成(x-1)的幂级数，并求展开式成立区间

Answer 1

f(x)=1/x

=1/[1+(x-1)]

=Σ(n从0到∞)(-1)^n *(x-1)^n

收敛区间：|x-1|

幂级数解法

求解常微分方程的一种方法，特别是当微分方程的解不能用初等函数或或其积分式表达时，就要寻求其他求解方法，尤其是近似求解方法，幂级数解法就是常用的近似求解方法。

用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程，例如:贝塞尔方程、勒让德方程。

Answer 2

分享一种解法。∵1/x=1/[1+(x-1)]，∴当丨x-1丨<1时，1/[1+(x-1)]=∑[-(x-1)]^n，
∴f(x)=1/x=∑[(-1)^n](x-1)]^n，其中n=0,1，……，∞、丨x-1丨<1。
供参考。

Answer 3