Question

求解数学题一道

锐角三角形ABC中，向量m=（2sin（A+C），根号3），n=（cos2B,2cos平方2分之B再-1）,mn共线。（1）求角B大小。（2）如果b=1,求三角形的最大面积

Answer 1

m、n共线，则m//n，得：
[2sin(A＋C)]/[cos2B]=[√3]/[2cos²B/2－1]
[2sinB]/[cos2B]=[√3]/[cosB]
√3cos2B=2sinBcosB=sin2B
sin2B－√3cos2B=0
sin(2B－π/3)=0
2B－π/3=0或2B－π/3=π
B=π/6或B=2π/3【舍去】
B=π/6

b=1，则：b²=a²＋c²－2accosB=a²＋c²－(√3)ac
得：a²＋c²－(√3)ac=1
因为a²＋c²≥2ac，则：
(√3)ac＋1≥2ac，得：ac≤1/(2－√3)=2＋√3
即：ac的最大值是(2＋√3)
所以S=(1/2)acsinB=(1/4)ac，S的最大值是(2＋√3)/4

Answer 2

(1)
m,n共线，2sin(A+C)/√3 = cos2B/(2(cos(B/2))^2-1)
2sin(A+C) . cosB = √3cos2B
2sinBcosB = √3cos2B
sin2B=√3cos2B
tan2B = √3
B = π/6
(2)a/sinA =b/sinB
a = (b/sinB)sinA =2sinA
c= 2sinC = 2sin(5π/6-A)
S=(1/2)acsinB = (1/2)(2sinA)(2sin(5π/6-A))(1/2) = sinAsin(5π/6-A)
=(1/2)(cos(2A-5π/6) - cos5π/6) =(1/2)(cos(2A-5π/6) +√3/2)
cos(2A-5π/6)=1 最大面积为 (1/2)(1+√3/2)

Answer 3

2cos平方2分之B-1即cosB，sin(A+B）即sinB
因为mn共线
所以√3cos2B=2sinBXcosB
√3cos2B=sin2B
tan2B=√3
所以2B=60°
B=30°
第二问
S=1/2xacxsinB
由第一问知sinB=1/2
要求S的最大值即求ac的最大值
ac最大值为1/（2-√3）
所以S=1/4（2-√3）

Answer 4

mn共线则
[2sin（A+C）]/cos2B=根号3/[2cos平方2分之B再-1]
化简得：sin(A+C)cosB=根号3cos2B
sin2B=根号3cos2B
2B=60度 B=30度
②