Question

高数积分求解

高数积分求解如图

Answer 1

换元 t=1/x，然后把两式相加你会有所发现。

追问

好像越来越乱了

追答

分母是(1+t)(1+t^2)啊，不要乘开。两个I加起来就是2I=1/(1+x^2)在(0,+∞)上的积分了。我写的你应该看得懂吧，虽然不太整齐。

追问

还是不太理解你这样写

2I=是怎么得出来的啊？

追答

换元之后I=x/[(1+x)(1+x^2)]的积分对吧，之前I=1/[(1+x)(1+x^2)]的积分，两个相加不就是2I了吗，刚好约分了1+x

追问

对对对

明白了

谢谢啦👌👍👍

Answer 2

令1/[(1 + x)(1 + x^2)] = A/(1 + x) + (Bx + C)/(1 + x^2)
==> 1 = A(1 + x^2) + (Bx + C)(1 + x)
==> 1 = (A + B)x^2 + (B + C)x + (A + C)
∴A + B = 0 ==> B = - A
∴B + C = 0 ==> C = - B
∴A + C = 1 ==> C = 1 - A
有1 - A = - (- A) ==> A = 1/2、B = - 1/2、C = 1/2
于是∫ 1/[(1 + x)(1 + x^2)] dx
= (1/2)∫ 1/(1 + x) dx - (1/2)∫ x/(1 + x^2) dx + (1/2)∫ 1/(1 + x^2) dx
= (1/2)ln|1 + x| - (1/4)ln(1 + x^2) + (1/2)arctan(x) + C
= (1/4)ln[(1 + x)^2/(1 + x^2)] + (1/2)arctan(x) + C