Question

大学高等代数题设A∈Pm*n 1.证明全体与A可交换的矩阵全体构成Pm*n的一个子空间，记作C(A) 2.当A=E时，求C(A

Answer 1

由题意，假设存在BA=AB,要满足矩阵的乘法，必有B与A为阶数要相同的方阵，不仿设满足条件的空间为P n*n
1，显然P为线性空间，要证C为它的子空间只要证，任意M,N属于C时，kM+lNS属于C
MA=AM,NA=AN,易的（kM+lNS）A=A(kM+lNS),综合上述kM+lNS属于C，所以是P的子空间
2当当A=E时,设A的阶数为n的方阵，对任何B属于P n*n，均满足BA=AB
所以C(A)=P n*n,n为A的阶数，且A必为方阵
,

Answer 2

1.证明子空间
对于任意P，Q与A可交换，即P，Q属于C（A）
则（P+Q）A=PA+QA=AP+AQ=A（P+Q）即（P+Q）与A可交换
对于任意数量k，（kP）A=kPA=kAP=AkP=A（kP）即kP与A可交换
综上得证C(A)是子空间
2.当A=E时，因为E与任何矩阵可交换，C(A)=Pm*n，即全体m*n矩阵