Question

一元二次方程的解法

Answer 1

一般解法
1.分解因式法
　　（可解部分一元二次方程） 　　因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 　　如 　　1.解方程：x^2+2x+1=0 　　解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0 　　解得：x?= x?=-1 　　2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0 　　解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0 　　即 x-3=0 或 x+1=0 　　∴ x1=3，x2=-1 　　3.解方程x^2-4=0 　　解：（x+2）（x-2）=0 　　x+2=0或x-2=0 　　∴ x?=-2，x?= 2 　　十字相乘法公式： 　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 　　例： 　　1. ab+b^2+a-b- 2 　　=ab+a+b^2-b-2 　　=a(b+1)+(b-2)(b+1) 　　=(b+1)(a+b-2)
2.公式法
　　（可解全部一元二次方程） 　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 　　1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中） 　　2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2 　　3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根 　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a 　　来求得方程的根
3.配方法
　　（可解全部一元二次方程） 　　如：解方程：x^2+2x－3=0 　　解：把常数项移项得：x^2+2x=3 　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 　　因式分解得：（x+1)^2=4 　　解得：x1=-3,x2=1 　　用配方法解一元二次方程小口诀 　　二次系数化为一 　　常数要往右边移 　　一次系数一半方 　　两边加上最相当
4.开方法
　　（可解部分一元二次方程） 　　如：x^2-24=1 　　解：x^2=25 　　x=±5 　　∴x?=5 x?=-5
5.均值代换法
　　（可解部分一元二次方程） 　　ax^2+bx+c=0 　　同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0 　　设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0) 　　根据x1*x2=c/a 　　求得m。 　　再求得x1, x2。 　　如：x^2-70x+825=0 　　均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m≥0) 　　x1*x2=825 　　所以m=20 　　所以x?=55， x?=15。 　　一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到） 　　一般式：ax^2+bx+c=0的两个根x?和x?的关系： 　　x1+x2= -b/a 　　x1*x2=c/a
如何选择最简单的解法
　　1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法） 　　2．看是否可以直接开方解 　　3．使用公式法求解 　　4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序： 　　1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法

Answer 2

一般解法
1.配方法
　　（可解全部一元二次方程）
　　如：解方程：x^2+2x－3=0
　　解：把常数项移项得：x^2+2x=3
　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4
　　因式分解得：（x+1)^2=4
　　解得：x1=-3,x2=1
　　用配方法解一元二次方程小口诀
　　二次系数化为一
　　常数要往右边移
　　一次系数一半方
　　两边加上最相当
2.公式法
　　（可解全部一元二次方程）
　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
　　1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）
　　2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
　　3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a
　　来求得方程的根
3.因式分解法
　　（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
　　如：解方程：x^2+2x+1=0
　　解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0
　　解得：x1=x2=-1
4.直接开平方法
　　（可解部分一元二次方程）
5.代数法
　　（可解全部一元二次方程）
　　ax^2+bx+c=0
　　同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0
　　设：x=y-b/2
　　方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0
　　再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0
　　y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]

Answer 3

一元二次方程有四种解法： 1、直 接开平方法；2、配方法；3、公式法 ；4、因式分解法。 1、直接开平方法 ： 直接开平方法就是用直接开平方求 解一元二次方程的方法。用直接开平 方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其 解为x=±根号下n+m . 例1．解方程（1） (3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（ 1）此方程显然用直接开平方法好做， （2）方程左边是完全平方式(3x-4)2， 右边=11>0，所以此方程也可用直接开 平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x +1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴ 原方程的解为x1=,x2= （2）解： 9x2-24x +16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原 方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方 法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移 到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数 化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次 项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b^2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=(这就是求根 公式) 例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2= 0 (注：X^2是X的平方） 解：将常数项 移到方程右边 3x^2-4x=2 将二次项系数 化为1：x^2-x= 方程两边都加上一次项 系数一半的平方：x^2-x+( )2= +( )2 配方 ：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原 方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一 元二次方程化成一般形式，然后计算 判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时 ，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x =[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0) 就可得到方程的根。 例3．用公式法解 方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形 式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b^2-4ac =(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2- 4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边 是零，把另一边的二次三项式分解成 两个一次因式的积的形式，让两个一 次因式分别等于零，得到两个一元一 次方程，解这两个一元一次方程所得 到的根，就是原方程的两个根。这种 解一元二次方程的方法叫做因式分解 法。例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-5 0=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） ( 1)解：(x+3)(x-6)=-8

化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二 次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方 程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转 化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2 是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+ 3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因 式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一 次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢 掉x=0这个解，应记住一元二次方程 有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)( 3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别 注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10= 0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x 2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴ 此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴ x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一 般解一元二次方程，最常用的方法还 是因式分解法，在应用因式分解法时 ，一般要先将方程写成一般形式，同 时应使二次项系数化为正数。 直接开 平方法是最基本的方法。 公式法和配 方法是最重要的方法。

Answer 4

通用方法是判别式法（学过没呀，很方便的，适用于所有一元二次方程）
还可以用因式分解法（又叫十字交叉法，不过仅适用于根为有理根的题目）
判别式法还衍生出了韦达定理，即两根的关系。
不懂的话可以追问……

Answer 5

一元二次方程公式解