复变函数问题

复变函数问题其中z是复数... 复变函数问题其中z是复数 展开
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fly划过的星空
2018-07-15 · TA获得超过4.2万个赞
知道大有可为答主
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这个题实际上是要说明对于复变函数而言,幂函数可能是多值的。所谓的多值,就是指对于一个自变量z,z^α会有多个取值。在实变函数里面,这种情况出现得比较少,只有反三角函数会出现多值,而且对这类多值函数取它们的“主值”,这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面,为了考虑方程所有的根,这时候反而希望兼顾函数的所有值,而不是单个的值。在这个题,决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候,2kα必定是偶数,而函数exp(z)是周期函数,所以当自变量相差2πi的整数倍的时候,函数值是相同的,也就是说函数值和整数k无关,所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候,不妨假设α=p/q(既约分数),那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候,2k1α和2k2α之间的差也是偶数,这个时候还是因为exp(z)的周期性,从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的,因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候,函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍,也就是说被q除还有余数,那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能,所以会有q个值。这个时候,幂函数z^α是多值函数,且有q个值。当α是无理数的时候,就不满足整除余数的周期性了,所以对于不同的k值,就有不同的函数值,因此z^α函数也是多值函数,函数值的个数是可数无穷多个
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