Question

二重积分x(x y)dxdy, D={(x,y)|x^2 y^2≤2,y≥x^x}

Answer 1

如下图所示:

Answer 2

令u=x-1，v=y-1，则D={（x，y）|x2+y2≤2x+2y}={（u，v）|u2+v2≤2}，从而， ? D (x+y2)dxdy= ? u2+v2≤2 (u+v2+2v+2)dudv．因为D关于u，v轴均对称，u为关于u的奇函数，2v为关于v的奇函数，故 ? u2+v2≤2 ududv= ? u2+v2≤2 2vdudv=0． 由二重积分的几何意义可得， ? u2+v2≤2 2dudv=4π．因为 ? u2+v2≤2 v2dudv= ? u2+v2≤2 u2dudv，故 ? u2+v2≤2 v2dudv= 1 2 ? u2+v2≤2 (u2+v2)dudv．利用极坐标系计算可得， ? u2+v2≤2 v2dudv= 1 2 ? u2+v2≤2 (u2+v2)dudv = 1 2 ∫ 2π 0 dθ ∫ 2 0 r3dr

Answer 3

∫∫2xdxdy=0 ∫∫1dxdy=π ∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy【因为积分区域D关于x、y轮换对称，利用积分值与积分变量符号名称无关】 ∫∫(x^2+2y^2)dxdy=(3/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy。