Question

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C,D两点的坐标分别为（4,0）（0,3），现有两动点P,Q

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C,D两点的坐标分别为（4,0）（0,3），现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，速度为每秒一个单位，点Q沿折线CBA向终点A运动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t秒。
（1）若四边形PQCD为平行四边形，求t的值
（2）若以PQCD为顶点的四边形为等腰梯形，求t的值
（3）是否存在某一时刻，使得P,Q两点同时在反比例函数y=m/x的两个分支上，若存在，求出此时t与m的值。

Answer 1

解：
（1）显然当AP=BQ时有DP平行等于CQ，且DP≠CD，此时四边形PQCD为平行四边形，易得此菱形的边长为5，由题意AP=t，CQ=2t，∴BQ=5-2t，于是有：t=5-2t，解得t=5／3。
（2）经计算当点Q在BC边时四边形PQCD不可能是等腰梯形，当点Q运动到AB上时，因为此时DP不可能平行于CQ，而CD也不可能平行于PQ，所以在运动过程中，以PQCD为顶点的四边形不会为等腰梯形。
（3）存在，此时点Q只能在BC边上。过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，易得PE：AE=3：4，∵AP=t，∴PE=3／5t，AE=4／5t，可得P（-4+4／5t，3／5t），同理可得
Q（4-8／5t，-6／5t），∵点P、Q均在反比例函数y=m/x的两个分支上，
∴（-4+4／5t）×（3／5t）=（4-8／5t）×（-6／5t），解得：t=5／3。
∴P（-8／3，1），∴m=-8／3×1=-8／3。

Answer 2

（1）显然当AP=BQ时有DP平行等于CQ，且DP≠CD，此时四边形PQCD为平行四边形，易得此菱形的边长为5，由题意AP=t，CQ=2t，∴BQ=5-2t，于是有：t=5-2t，解得t=5／3。
（2）经计算当点Q在BC边时四边形PQCD不可能是等腰梯形，当点Q运动到AB上时，因为此时DP不可能平行于CQ，而CD也不可能平行于PQ，所以在运动过程中，以PQCD为顶点的四边形不会为等腰梯形。
（3）存在，此时点Q只能在BC边上。过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，易得PE：AE=3：4，∵AP=t，∴PE=3／5t，AE=4／5t，可得P（-4+4／5t，3／5t），同理可得
Q（4-8／5t，-6／5t），∵点P、Q均在反比例函数y=m/x的两个分支上，
∴（-4+4／5t）×（3／5t）=（4-8／5t）×（-6／5t），解得：t=5／3。
∴P（-8／3，1），∴m=-8／3×1=-8／3。