Question

高等代数问题。。

高等代数问题。。设数域F上的n维线性空间V中有m组向量，每组均含有t个线性无关的向量，证明 ：在V中必有n-t个向量存在，它们与上面任一组向量合在一起就构成V的一组基。。

Answer 1

用反证法，假设V中没有n-t个向量存在，使得上述某一组向量（含有t个线性无关的向量），无法扩充为V的一组基，
那么V中所有向量，都可以通过这t个线性无关的向量线性表示，从而这t个线性无关的向量
是一个极大无关组，
但事实上，n维线性空间V中，是存在一组标准正交基的：
(1,0,...,0)^T,
(0,1,...,0)^T,
...
(0,0,...,1)^T
也是一个极大无关组，但显然其中线性无关的向量个数是n个，不是t个，
因为无法与那t个线性无关的向量的向量组等价，得出矛盾！

追问

兄弟你的假设不对，我的假设是这样：假设在V中不存在这样的n-t个向量，使得这组向量与上面任意一组合在一起就成为V的一组基。