Question

求无穷积分是否收敛，为什么lim a→+∞ ∫_1^a_ 1/( (x^2)(1+x) ) dx=lim a→+∞ ∫_1^a_ ( (-1/x)+

求无穷积分是否收敛，为什么lim a→+∞ ∫_1^a_ 1/( (x^2)(1+x) ) dx=lim a→+∞ ∫_1^a_ ( (-1/x)+1/(x^2)+1/(1+x) ) dx ？

这一步是怎么想出来的？要告诉我思路啊

Answer 1

lim(a→+∞) ∫(1→a) 1/[x²(1 + x)] dx
= lim(a→+∞) ∫(1→a) [x² - (x² - 1)]/[x²(1 + x)] dx
这步其实可用待定系数法解的，不过这个拆解也算简单，为了方便才做这个形式，熟练就想到了。
= lim(a→+∞) ∫(1→a) [1/(1 + x) - (x - 1)/x²] dx，分子(x² - 1) = (x + 1)(x - 1)与分母约掉(1 + x)
= lim(a→+∞) ∫(1→a) [1/(1 + x) - 1/x + 1/x²] dx，这样就可以求结果了
= lim(a→+∞) [ln((1 + x)/x) - 1/x] |[1→a]
= lim(a→+∞) [ln((1 + a)/a) - 1/a] - [ln((1 + 1)) - 1]
= lim(a→+∞) [ln(1/a + 1) - 1/a] - ln(2) + 1
= ln(0 + 1) - 0 - ln(2) + 1
= 1 - ln(2)
= ln(e/2)
定积分结果有具体面积，即为收敛。

用待定系数法的话：(除非题目特别要求，否则通常对于非常复杂的部分分式才真正有需要用到这个)
令1/[x²(1 + x)] = A/x² + B/x + C/(1 + x)，通分得
1[x²(1 + x)] = [A(1 + x) + Bx(1 + x) + Cx²]/[x²(1 + x)]，即
1 = A(1 + x) + Bx(1 + x) + Cx²
1 = A + Ax + Bx + Bx² + Cx²
1 = (B + C)x² + (A + B)x + A
{ A = 1
{ A + B = 0
{ B + C = 0
B = - A = - 1
C = - B = 1
所以1/[x²(1 + x)] = 1/x² - 1/x + 1/(1 + x)

很详细吧，满意的话请采纳，谢谢☆⌒_⌒☆

Answer 2

分母为多项式的倒数时，可用待定系数法：
1/( (x^2)(1+x) ) = A/x + B/x^2 + C/(1+x)
这样，通分后，分母就是(x^2)(1+x)，而分子是
(A+C)x^2 + (A+B)x + B = 1
比照1/( (x^2)(1+x) )，可知
{
B=1，
A+B=0 →A=-1，
A+C=0 →C=1