Question

如图1，锐角△ABC中，AB＝AC，CD//AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ，使得∠APQ＝∠BAC。

（1）猜想线段AP与PQ的数量关系并证明；
（2）如图2，若将“锐角△ABC”改为“钝角△ABC”，其他条件不变，（1）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由。
备注：这是初中八年级的数学证明题，请帮助回答的大大在此范围里答题。

Answer 1

（1）连接AQ
因CD//AB，则∠BAC=∠ACQ，又因∠APQ＝∠BAC，则∠ACQ=∠APQ
所以A、P、C、Q四点共圆
∠PAC=∠PQC，∠QAC=∠QPC
∠PAQ=∠PAC+∠QAC=∠PQC+∠QPC=180°-BCQ
由CD//AB，得∠B=180°-BCQ，
所以∠PAQ=∠B，又因∠APQ＝∠BAC，所以∠ACB=∠AQP
由AB＝AC，得∠B=∠ACB，所以∠PAQ=∠AQP
所以AP=PQ
（2）连接AQ
由CD//AB，∠APQ=∠BAC，得∠ACD=∠BAC=∠APQ，则A、P、C、Q四点共圆
∠PAQ=∠PCQ，∠AQP=∠ACB
由CD//AB、AB＝AC，得∠PCQ=∠B=∠ACB
所以∠PAQ=∠AQP
所以AP=PQ

追问

这是就读八年级的学生问我的问题，八年级还没有涉及到圆的相关知识，他说是在全等三角形的范围内的。共圆的证明方法他根本没有接触过。。第1问我能用全等三角形的方法证明给他看，但第2问还没有头绪.

Answer 2

（1）连接AQ
因CD//AB，则∠BAC=∠ACQ，又因∠APQ＝∠BAC，则∠ACQ=∠APQ
所以A、P、C、Q四点共圆
∠PAC=∠PQC，∠QAC=∠QPC
∠PAQ=∠PAC+∠QAC=∠PQC+∠QPC=180°-BCQ
由CD//AB，得∠B=180°-BCQ，
所以∠PAQ=∠B，又因∠APQ＝∠BAC，所以∠ACB=∠AQP
由AB＝AC，得∠B=∠ACB，所以∠PAQ=∠AQP
所以AP=PQ
（2）连接AQ
由CD//AB，∠APQ=∠BAC，得∠ACD=∠BAC=∠APQ，则A、P、C、Q四点共圆
∠PAQ=∠PCQ，∠AQP=∠ACB
由CD//AB、AB＝AC，得∠PCQ=∠B=∠ACB
所以∠PAQ=∠AQP
所以AP=PQ

Answer 3

（1）连接AQ
因CD//AB，则∠BAC=∠ACQ，又因∠APQ＝∠BAC，则∠ACQ=∠APQ
所以A、P、C、Q四点共圆
∠PAC=∠PQC，∠QAC=∠QPC
∠PAQ=∠PAC+∠QAC=∠PQC+∠QPC=180°-BCQ
由CD//AB，得∠B=180°-BCQ，
所以∠PAQ=∠B，又因∠APQ＝∠BAC，所以∠ACB=∠AQP
由AB＝AC，得∠B=∠ACB，所以∠PAQ=∠AQP
所以AP=PQ
（2）连接AQ
由CD//AB，∠APQ=∠BAC，得∠ACD=∠BAC=∠APQ，则A、P、C、Q四点共圆
∠PAQ=∠PCQ，∠AQP=∠ACB
由CD//AB、AB＝AC，得∠PCQ=∠B=∠ACB
所以∠PAQ=∠AQP
所以AP=PQ （对不起，借花献佛而已フチ)

Answer 4

请问不用四点共圆，用全等三角形的方法，是怎么解的。