已知函数f(x)=4^x+m·2^x+1有且仅有一个零点,求实数m的取值范围,并求出该零点
令y=2^xF(y)=y^2+My+1∵y=2^x在R上单调递增,y>0只需F(y)在(0,+∞)上仅有一个零点又∵F(0)=1>0,F(y)为开口向上的抛物线∴只能Δ=...
令y=2^x
F(y)=y^2+My+1
∵y=2^x在R上单调递增,y>0
只需F(y)在(0,+∞)上仅有一个零点
又∵F(0)=1>0,F(y)为开口向上的抛物线
∴只能Δ=0即M^2-4=0,而对称轴即x=-M/2>0
∴M=-2
解得y=1
∴x=0,零点为(0,0)
用这种方法以外的方法做 展开
F(y)=y^2+My+1
∵y=2^x在R上单调递增,y>0
只需F(y)在(0,+∞)上仅有一个零点
又∵F(0)=1>0,F(y)为开口向上的抛物线
∴只能Δ=0即M^2-4=0,而对称轴即x=-M/2>0
∴M=-2
解得y=1
∴x=0,零点为(0,0)
用这种方法以外的方法做 展开
2个回答
2014-08-15
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方法一 令2x=t,则t>0,则g(t)=t2+mt+1=0
仅有一正根,而g(0)=1>0,故
∴m=-2.
方法二 令2x=t,则t>0.
原函数的零点,即方程t2+mt+1=0的根.
∴t2+1=-mt.
∴-m==t+(t>0).
有一个零点,即方程只有一根.
∵t+≥2(当且仅当t=即t=1时),
∴-m=2即m=-2时,只有一根.
注:方法一侧重二次函数,方法二侧重于分离参数.
仅有一正根,而g(0)=1>0,故
∴m=-2.
方法二 令2x=t,则t>0.
原函数的零点,即方程t2+mt+1=0的根.
∴t2+1=-mt.
∴-m==t+(t>0).
有一个零点,即方程只有一根.
∵t+≥2(当且仅当t=即t=1时),
∴-m=2即m=-2时,只有一根.
注:方法一侧重二次函数,方法二侧重于分离参数.
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