Question

a,b,c为正数，试证2(a^3+b^3+c^3)＞a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b

Answer 1

证明： 2(a³+b³+c³)-(a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b)
=(a³+b³-a²b-b²a)+(a³+c³-a²c-c²a)+(b³+c³-b²c-c²b)
=[a²(a-b)-b²(a-b)]+[a²(a-c)-c²(a-c)]+[b²(b-c)-c²(b-c)]
=(a²-b²)(a-b)+(a²-c²)(a-c)+(b²-c²)(b-c)
=(a+b)(a-b)²+(a+c)(a-c)²+(b+c)(b-c)²
∵a>0，b>0，c>0
∴a+b>0，(a-b)²≥0，a+c>0，(a-c)²≥0，b+c>0，(b-c)²≥0
∴(a+b)(a-b)²+(a+c)(a-c)²+(b+c)(b-c)²≥0，当且仅当a=b=c时取等
即 2(a³+b³+c³)-(a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b)≥0
∴2(a³+b³+c³)≥a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b，当且仅当a=b=c时取等

Answer 2

∵6(a^3+b^3+c^3)
=(a^3+a^3+b^3)+(a^3+a^3+c^3)+(b^3+b^3+c^3)+(b^3+b^3+a^3)+(c^3+c^3+a^3)+(c^3+c^3+b^3)
≥3a^2b+3a^2c+3b^2c+3b^2a+3c^2a+3c^2b
∴2(a^3+b^3+c^3)≥a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b

Answer 3

左-右=(a-b)a^2+(a-c)a^2+(b-c)b^2+(b-a)b^2+(c-b)c^2+(c-a)c^2
=(a-b)(a^2-b^2)+(b-c)(b^2-c^2)+(c-a)(c^2-a^2)
=(a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(c-a)^2(c+a)
>=0 ，
因此 左>=右 。（当且仅当 a=b=c 时，取等号）

Answer 4

证明
∵a,b,c＞0
∴由基本不等式:x²+y²≥2xy,可得
a³+b²a≥2a²b
a³+c²a≥2a²c
b³+bc²≥2b²c
b³+a²b≥2ab²
c³+a²c≥2ac²
c³+b²c≥2bc²
把上面六个不等式相加,整理可知.
原不等式成立.