Question

求大神解答 一道积分题

Answer 1

郭敦顒回答：
y =f（x）= ln（1+x²），
f′（x）= dy/dx= 2x/（1+x²），
dy/[2x/（1+x²）]= dx ，
f′（2x）= 4x/（1+4x²）。

x f′（2x）dx=[4x²/（1+4x²）] dx，
={[4x²/（1+4x²）] /[2x/（1+x²）]}dy
=[2x（1+x²）/（1+4x²）] dy，
x f′（2x）dx=[2x（1+x²）/（1+4x²）] dy，这是微分结果。

对x f′（2x）dx积分即对[4x²/（1+4x²）] dx的积分，表达为：
∫[4x²/（1+4x²）] dx
=∫[1－1/（1+4x²）] dx
=x－（1/2）arctan（2x）+C，
∫x f′（2x）dx= x－（1/2）arctan（2x）+C。

Answer 2

f(x)=(ln(1+x²))'=2x/(1+x²)
∫xf'(2x)dx
=1/2∫xdf(2x)
=xf(2x)/2-1/2∫f(2x)dx
=2x²/(1+4x²)-(1/4)ln(1+4x²)+C