Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x²－(k＋1)x－4的图像与y轴交于点A，

与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB=6
（1）求点A与点B的坐标
(2)求这个二次函数的表达式；
(3)探究：在x轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形；若存在，请确定点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)
A 点坐标 (0,-4)
因为 S△OAB=6
所以，|OB|=2*6/|OA|=12/4=3
B点坐标=(-3, 0)
(2)
将B代入二次函数得
0=(-3)^2-(k+1)*(-3)-4=9+3*k+3-4
k=-8/3
故二次函数为
y=x^2-(-8/3+1)x-4 ==> y=x^2+5/3*x-4
(3)
二次函数 y=x^2+5/3*x-4 与x轴有2个交点 A, C
x^2+5/3*x-4=0 ==> (x+3)(3x-4)=0
A(-3, 0) ,C(4/3, 0)
因为
|AB|=√(3^2+4^2)=5
|AC|=4/3+3
|BC|=√[4^2+(4/3)^]=4√10/3
故△ABC不构成等腰三角形。
若P点不限定是二次函数上的点（题目没有限定），
那么P1(3, 0)，P2(2,0)，P3(7/6, 0) ，P4(-8，0)都与A，B构成等腰三角形。

Answer 2

X=0,Y=-4,即A(0,-4)
6*2/4=3,即B(-3,0)
把B点带进去，可以算出K，Y=X平方+三分之五X-4
存在，当AB=BP时，即AB=12=BP，B（-15,0）或B（9,0）

Answer 3

（1）解：令x=0，则y= - 4，点A坐标为(0，- 4) 设点B坐标为(- a，0)
由题意，有
S△OAB = (1/2)*4*a = 2a = 6
∴a = 3
∴点A、B坐标分别为A(0，- 4)，B(- 3，0)

（2）解：把x= - 3，y=0代入y=x²－(k＋1)x－4，
则，(-3)² - (k+1)*(-3) - 4 = 0
∴k = - 8/3
∴该二次函数表达式为 y = x² + (5/3)x - 4

（3）解：由题意，△ABP是等腰三角形，有三种情况：
①若PA=PB，设P坐标为(m，0)
PA² = (m-0)²+(0+4)² = m²+16
PB² = (m+3)²+(0-0)² = m²+6m+9
则，m²+16 = m²+6m+9
解得 m=7/6，即点P坐标为(7/6，0)

②若AB=PB，设P坐标为(m，0)
AB² = 3²+4² = 25
PB² = (m+3)²+(0-0)² = m²+6m+9
则，25 = m²+6m+9
解得 m= - 8 或m=2，即点P坐标为( - 8，0)或(2，0)

③若AB=PA，设P坐标为(m，0)
AB² = 3²+4² = 25
PA² = (m-0)²+(0+4)² = m²+16
则，25 = m²+16
解得 m= - 3 或m=3，即点P坐标为( - 3，0)或(3，0)

综上所述，存在点P使△ABP是等腰三角形，点P坐标为( - 8，0)或( - 3，0)或(7/6，0)或(2，0)或(3，0)