Question

大学数学，概率论题目

Answer 1

分析：A与B相互独立即P(AB)=P(A)P(B)，所以题目即若P(A|B)=P(A|B_)，证明P(AB)=P(A)P(B)

P(A|B)=P(AB)/P(B)；P(A|B_)=P(AB_)/P(B_)

即P(AB)/P(B)=P(AB_)/P(B_)

交叉相乘，有P(AB)P(B_)=P(AB_)P(B)……式1

考虑到P(AB_)=P(A)-P(AB)；P(B_)=1-P(B)，带入到式1中，则有

P(AB)[1-P(B)]=[P(A)-P(AB)]P(B)

去括号整理，消去P(AB)P(B)，得到P(AB)=P(A)P(B)。

得证。

后面是延伸，可以不看。实际上，如果这个题反过来，已知AB独立，求证P(A|B)=P(A|B_)也是可以的。证明如下：

等式左边：P(A|B)=P(AB)/P(B) 因为P(AB)=P(A)P(B)，带入消去P(B)有P(A|B)=P(A)

等式右边：P(A|B_)=P(AB_)/P(B_)由于A和B独立，因此A和B_也独立，即P(AB_)=P(A)P(B_)，带入消去P(B_)得到P(A|B_)=P(A)=左边。得证。

换句话说，这个题目和结论互为充分必要条件。

追问

好的，谢谢啦😊