Question

已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{}bn的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1 1)求{an}，{bn}的通项公...

已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{}bn的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1
1)求{an}，{bn}的通项公式
2)若Cn=an bn，{Cn}的前n项和为Tn，求Tn

Answer 1

解（1）∵{an}是等差数列，∴4d=a7-a3=8，∴d=2，∴an=a3+（n-3）d=2n-1，
∵Sn=2bn-1，∴当n≥2时，S（n-1）=2b（n-1）-1，两式相减，bn=2bn-2b（n-1），
∴bn=2b（n-1），∴{bn}是以2为公比的等比数列
当n=1时，b1=S1=2b1-1，∴b1=1，∴bn=2的n-1次方
（2）第二题用错位相减法：
∵Tn=c1+c2+c3+...+cn= 1×1-3×2-5×2^2-7×2^3-...-(2n-1)×2^(n-1)
∴2Tn=1×2+3×2^2+5×2^3+...+(2n-3)×2^(n-1)+(2n-1)×2^n
Tn-2Tn=-Tn= 1×2+3×2^2+5×2^3+...+(2n-3)×2^(n-1)+(2n-1)×2^n
-[1×1-3×2-5×2^2-7×2^3-...-(2n-1)×2^(n-1)]
=-1-2×[2+2^2+2^3+...+2^(n-1)]+(2n-1)×2^n
=-1-(2^2+2^3+2^4+,,,+2^n)+(2n-1)×2^n
=-1+[4-2^(n+1)]+(2n-1)×2^n
=-1+4-2×2^n+(2n-1)×2^n
=3+(2n-3)×2^n

Answer 2

(1)d=(a7-a3)/(7-3)=8/4=2
∴an=5+(n-3)×2=2n-1
b1=S1=2b1-1
∴b1=1
n≥2时,bn=Sn-Sn-1=
2bn-2bn-1
即2bn-1=bn
bn/bn-1=2
则bn=1×2^(n-1)=2^(n-1)

(2)Cn=(2n-1)×2^(n-1)
2Cn=(2n-1)×2^n
则Cn=2Cn-Cn
= 1×2+3×2^2+5×2^3+...+(2n-3)×2^(n-1)+(2n-1)×2^n
-1×1-3×2-5×2^2-7×2^3-...-(2n-1)×2^(n-1)
=-1-2×[2+2^2+2^3+...+2^(n-1)]+(2n-1)×2^n
=-1-(2^2+2^3+2^4+,,,+2^n)+(2n-1)×2^n
=-1+[4-2^(n+1)]+(2n-1)×2^n
=-1+4-2×2^n+(2n-1)×2^n
=3+(2n-3)×2^n

Answer 3

1) a3=a1+2d=5
a7=a1+6d=13
解得，a1=1,d=2
an=a1+(n-1)d=2n-1
b1=S1=2b1-1
b1=1
S(n-1)=2b(n-1)-1
bn=Sn-S(n-1)=2bn-2b(n-1)
bn/b(n-1)=2
bn=b1*q^(n-1)=2^(n-1)