Question

已知3倍向量a+4倍向量+5倍向量=向量0，且|向量a|=|向量b|=|向量c|=1,则向量a×（向量b+向量c）

已知3倍向量a+4倍向量b+5倍向量c=向量0，且|向量a|=|向量b|=|向量c|=1,则向量a×（向量b+向量c）=?

Answer 1

因为|向量a|=|向量b|=|向量c|=1,
所以|3向量a|=3，|4向量b|=4，|5向量c|=5,
又因3倍向量a+4倍向量b+5倍向量c=向量0，
所以3倍向量a，4倍向量b，5倍向量c必定首尾相连，构成三角形，
设向量AB=3倍向量a，向量BC=4倍向量b，向量CA=5倍向量c，
则|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5,三角形ABC是直角三角形，∠B=90°，
故a*b=0，
向量a与向量c的夹角α即为向量AB与向量CA的夹角π-A，
则cosα=cos(π-A)=- cos A=-3/5，
所以向量a×（向量b+向量c）=a*b+a*c
=0+a*c= a*c
=1*1*(-3/5)
=-3/5.