Question

关于数学极限的问题，求详细解答

Answer 1

我猜是 2/pi
大约方法是:
你把分子的积分区间分成 [0 pi] [pi, 2pi] .....
首先因为第一个区间积分是有界的 而 ln x 趋向于 无穷大, 你可以扔掉地一个区间
你对 |(sin t)/t|在每个区间 [pi 2pi] [2pi 3pi] [3pi 4pi] .... .... 积分
考虑区间 [n*pi, (n+1)*pi]
|sin t| / ((n+1)*pi) <|(sin t)/t| < |sin t|/(n*pi)
所以|(sin t)/t| 在 [n*pi, (n+1)*pi] 上的积分 小于 2/(n*pi) 大于 2/((n+1)*pi)
也就是整个积分 下界 为 2/pi * ( 1/2+1/3+1/4+...+1/n+... ) 上界为 2/pi * (1+1/2+1/3+...+1/n+...)
而 (1/2+1/3+...+1/n+...) / ln(n) =1 当 n趋向 无穷
(1+1/2+1/3+...+1/n+...) / ln(n) =1 当 n趋向 无穷
(这类似于 1/t 从0 积分到 x 除以 ln x 的极限)
所以最终结果是 2/pi

Answer 2

供参考。