Question

若正数a，b满足a+b=1，则3a+2分之一+（3b+2）分之一的最小值为

Answer 1

用柯西不等式，
1/(3a＋2)＋1/(3b＋2)
＝(1/7) * [(3a＋2)＋(3b＋2)] *
[1/(3a＋2)＋1/(3b＋2)]
≥ (1/7) * (1＋1)²＝4/7，
当 3a＋2＝3b＋2 且 a＋b＝1，
即 a＝b＝1/2 时，所求最小值为 4/7。
(注：柯西不等式：
(a²＋b²)(c²＋d²) ≥ (ac＋bd)² )

Answer 2

Answer 3

S
=1/(3a+2) + 1/(3b+2)

=1/(3a+2) + 1/[3(1-a)+2]
=1/(3a+2) + 1/(5-3a)
S'
=-3/(3a+2)^2 + 3/(5-3a)^2
S'=0
-3/(3a+2)^2 + 3/(5-3a)^2 =0
(5-3a)^2 -(3a+2)^2 =0
9a^2-30a+25 -(9a^2+12a+4)=0
-42a+21=0
a=1/2
S'|a=1/2+ >0
S'|a=1/2- <0
a=1/2 (min)
S= 1/(3a+2) + 1/(5-3a)
min S
=S(1/2)
=1/(3/2+2) + 1/(5-3/2)

=2/7 + 2/7
=4/7

Answer 4

供参考。与楼上不谋而合。