Question

初一几何数学题

已知AD平分角BAC，CF垂直AD于F。
(1)如图①，BE，CE分别平分∠ABC与∠ACB，易得：∠BEC=90°+二分之一∠BAC。
求证：∠BEC+∠ACF=180°。
(2)当BE平分∠MBC，∠E平分∠BCN（图②）
当BE平分∠ABC，∠E平分∠ACM时（图③）
∠BEC与∠ACF又有怎样的关系，写出你的猜想。

Answer 1

证明：(1)由于∠BEC=90º+1/2*∠BAC
AD平分∠BAC，AD⊥CF,所以，∠ACF=90º-1/2*∠BAC
那么，∠BEC+∠ACF=180°.
(2)由于BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，所以，∠BEC=180º-1/2*∠MBC-1/2*∠NCB，
又由于∠MBC=∠BAC+∠ABC，∠NCB=∠BAC+∠ACB
所以，∠BEC=180º-1/2*(∠BAC+∠ABC+∠ACB+∠BAC)=180º-1/2*(180º+∠A)=90º-1/2∠BAC
由于∠ACF=90º-1/2∠BAC
所以，∠BEC=∠ACF
(3)由于∠ACM=∠ABC+∠BAC，那么，1/2*∠ACM=1/2*∠ABC+1/2*∠BAC
又因为，1/2*∠ACM=∠ECM=∠BEC+EBC，1/2*∠ABC=∠EBC
所以，∠BEC=1/2*∠BAC
∠ACF=90º-1/2*∠BAC
所以∠BEC+∠ACF=90º

Answer 2

证明（1）：因为∠BEC=90+1/2∠BAC
即:∠BEC=90+∠CAF
∠BEC+∠ACF=90+∠CAF+∠ACF(三角形ACF内角和)=180
（2）∠BEC+∠ACF=180°

Answer 3

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