Question

（√1+lnx）/xlnx的不定积分

求解答我有答案的，希望能够得到详细过程。



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Answer 1

设lnx=tan²θ

∴dx/x=2tanθd(tanθ)

∴原式=2∫d(tanθ)/sinθ=2tanθ/sinθ+2∫dθ/sinθ=2secθ+2∫dθ/sinθ。

2∫dθ/sinθ=2∫sinθdθ/sin²θ=-2∫d(cosθ)/(1-cos²θ)=∫[1/(cosθ-1)-[1/(cosθ+1)]dθ=ln丨(cosθ-1)/(cosθ+1)丨+C1。

∴原式=2secθ+ln丨(cosθ-1)/(cosθ+1)丨+C=2√(1+lnx)+ln丨[1-√(1+lnx)]/[1+√(1+lnx)]丨+C=2√(1+lnx)+ln丨[√(1+lnx)-1]/[√(1+lnx)+1]丨+C

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

扩展资料：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)，即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。

黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

∫[(1-lnx)/(x-lnx)2]dx =∫{[(1-lnx)-x( 1- 1/x)]/(x-lnx)2}dx =∫d[x/(x-lnx)] =x/(x-lnx) +C

Answer 3

(6) I = ∫√(1+lnx)dlnx/lnx 令 u = √(1+lnx)， 则 lnx = u^2-1, dlnx = 2udu
= 2∫u^2 du/(u^2-1) = 2∫[1+1/(u^2-1)]du = ∫[2+1/(u-1)-1/(u+1)]du
= 2u + ln|(u-1)/(u+1)| + C = 2√(1+lnx) + ln|[√(1+lnx)-1]/[√(1+lnx)+1]| + C

Answer 4

😁

Answer 5

设lnx=tan²θ，∴dx/x=2tanθd(tanθ)。
∴原式=2∫d(tanθ)/sinθ=2tanθ/sinθ+2∫dθ/sinθ=2secθ+2∫dθ/sinθ。
而，2∫dθ/sinθ=2∫sinθdθ/sin²θ=-2∫d(cosθ)/(1-cos²θ)=∫[1/(cosθ-1)-[1/(cosθ+1)]dθ=ln丨(cosθ-1)/(cosθ+1)丨+C1。
∴原式=2secθ+ln丨(cosθ-1)/(cosθ+1)丨+C=2√(1+lnx)+ln丨[1-√(1+lnx)]/[1+√(1+lnx)]丨+C=2√(1+lnx)+ln丨[√(1+lnx)-1]/[√(1+lnx)+1]丨+C。
供参考。