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如果你想速成,就多做题,记题型.效果明显些.不过忘的也快.高中题型不是很多,如果记忆力好的话就比较容易了
浅论关于三角函数的几种解题技巧
本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下:
一、关于 的关系的推广应用:
1、由于 故知道 ,必可推出 ,例如:
例1 已知 。
分析:由于
其中, 已知,只要求出 即可,此题是典型的知sin -cos ,求sin cos 的题型。
解:∵
故:
2、关于tg +ctg 与sin ±cos ,sin cos 的关系应用:
由于tg +ctg =
故:tg +ctg , ,sin cos 三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin +cos =m2,且tg +ctg =n,则m2 n的关系为( )。
A.m2=n B.m2= C. D.
分析:观察sin +cos 与sin cos 的关系:
sin cos =
而:
故: ,选B。
例3 已知:tg +ctg =4,则sin2 的值为( )。
A. B. C. D.
分析:tg +ctg =
故: 。 答案选A。
例4 已知:tg +ctg =2,求
分析:由上面例子已知,只要 能化出含sin ±cos 或sin cos 的式子,则即可根据已知tg +ctg 进行计算。由于tg +ctg =
,此题只要将 化成含sin cos 的式子即可:
解: = +2 sin2 cos2 -2 sin2 cos2
=(sin2 +cos2 )- 2 sin2 cos2
=1-2 (sin cos )2
=1-
=
=
通过以上例子,可以得出以下结论:由于 ,sin cos 及tg +ctg 三者之间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通过已知sin cos ,求含 的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于( )2=1±2sin cos ,要进行开方运算才能求出
二、关于“托底”方法的应用:
在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含tg (或ctg )与含sin (或cos )的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下:
例5 已知:tg =3,求 的值。
分析:由于 ,带有分母cos ,因此,可把原式分子、分母各项除以cos ,“造出”tg ,即托出底:cos ;
解:由于tg =3
故,原式=
例6 已知:ctg = -3,求sin cos -cos2 =?
分析:由于 ,故必将式子化成含有 的形式,而此题与例4有所不同,式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式: 及托底法托出其分母,然后再分子、分母分别除以sin ,造出ctg :
解:
例7 (95年全国成人高考理、工科数学试卷)
设 ,
求: 的值
分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法”,由于 ,故 ,在等式两边同除以 ,托出分母 为底,得:
解:由已知等式两边同除以 得:
“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于 , ,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互化需“托底”,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种:一种利用 ,把 作为分母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母。
三、关于形如: 的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用:
可以从公式 中得到启示:式子 与上述公式有点相似,如果把a,b部分变成含sinA,cosA的式子,则形如 的式子都可以变成含 的式子,由于-1≤ ≤1,
所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把a当成sinA,b当成cosA,如式子: 中,不能设sinA=3,cosA=4,考虑:-1≤sinA≤1,-1≤cosA≤1,可以如下处理式子:
由于 。
故可设: ,则 ,即:
∴
无论 取何值,-1≤sin(A±x)≤1,
≤ ≤
即: ≤ ≤
下面观察此式在解决实际极值问题时的应用:
例1(98年全国成人高考数学考试卷)
求:函数 的最大值为(AAAA )
A. B. C. D.
分析: ,再想办法把 变成含 的式子:
于是:
由于这里:
∴
设:
∴
无论A-2x取何值,都有-1≤sin(A-2x)≤1,故 ≤ ≤
∴ 的最大值为 ,即答案选A。
例2 (96年全国成人高考理工科数学试卷)
在△ABC中,已知:AB=2,BC=1,CA= ,分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F,使△DEF为正三角形,记∠FEC=∠α,问:sinα取何值时,△EFD的边长最短?并求此最短边长。
分析:首先,由于 ,可知△ABC为Rt△,其中AB为斜边,所对角∠C为直角,又由于 ,则∠B=
90°—∠A=60°,由于本题要计算△DEF的最短边长,故必要设正△DEF的边长为 ,且要列出有关 为未知数的方程,对 进行求解。观察△BDE,已知:∠B=60°,DE= ,再想办法找出另两个量,即可根据正弦定理列出等式,从而产生关于 的方程。在图中,由于EC= •cosα,则BE=BC-EC=1- •cosα。
而∠B+∠BDE+∠1=180°
∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α
∠B=60°,∠DEF=60°
∴在△BDE中,根据正弦定理:
在这里,要使 有最小值,必须分母: 有最大值,观察:
∴
设: ,则
故:
∴ 的最大值为 。
即: 的最小值为:
而 取最大值为1时,
∴
即: 时,△DEF的边长最短,最短边长为 。
从以上例子可知,形如 适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关,与 的最值有关;其中最大值为 ,最小值为 。在计算三角函数的极值应用题时,只要找出形如 的关系式,即能根据题意,求出相关的极值。
三角函数知识点解题方法总结
一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间(-90º,90º)的公式.
1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);
3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).
二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方);
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);
3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;
4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.
三、见“知1求5”问题,造Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形还可以视其分母为1,转化为sin2α+cos2α.
六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:
1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.
七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;
2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.
八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=???
九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;
2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;
3.同样,利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:
1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);
3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.
十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化.
1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等
角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
倒数关系: 商的关系: 平方关系:
tanα •cotα=1
sinα •cscα=1
cosα •secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α
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浅论关于三角函数的几种解题技巧
本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下:
一、关于 的关系的推广应用:
1、由于 故知道 ,必可推出 ,例如:
例1 已知 。
分析:由于
其中, 已知,只要求出 即可,此题是典型的知sin -cos ,求sin cos 的题型。
解:∵
故:
2、关于tg +ctg 与sin ±cos ,sin cos 的关系应用:
由于tg +ctg =
故:tg +ctg , ,sin cos 三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin +cos =m2,且tg +ctg =n,则m2 n的关系为( )。
A.m2=n B.m2= C. D.
分析:观察sin +cos 与sin cos 的关系:
sin cos =
而:
故: ,选B。
例3 已知:tg +ctg =4,则sin2 的值为( )。
A. B. C. D.
分析:tg +ctg =
故: 。 答案选A。
例4 已知:tg +ctg =2,求
分析:由上面例子已知,只要 能化出含sin ±cos 或sin cos 的式子,则即可根据已知tg +ctg 进行计算。由于tg +ctg =
,此题只要将 化成含sin cos 的式子即可:
解: = +2 sin2 cos2 -2 sin2 cos2
=(sin2 +cos2 )- 2 sin2 cos2
=1-2 (sin cos )2
=1-
=
=
通过以上例子,可以得出以下结论:由于 ,sin cos 及tg +ctg 三者之间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通过已知sin cos ,求含 的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于( )2=1±2sin cos ,要进行开方运算才能求出
二、关于“托底”方法的应用:
在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含tg (或ctg )与含sin (或cos )的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下:
例5 已知:tg =3,求 的值。
分析:由于 ,带有分母cos ,因此,可把原式分子、分母各项除以cos ,“造出”tg ,即托出底:cos ;
解:由于tg =3
故,原式=
例6 已知:ctg = -3,求sin cos -cos2 =?
分析:由于 ,故必将式子化成含有 的形式,而此题与例4有所不同,式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式: 及托底法托出其分母,然后再分子、分母分别除以sin ,造出ctg :
解:
例7 (95年全国成人高考理、工科数学试卷)
设 ,
求: 的值
分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法”,由于 ,故 ,在等式两边同除以 ,托出分母 为底,得:
解:由已知等式两边同除以 得:
“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于 , ,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互化需“托底”,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种:一种利用 ,把 作为分母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母。
三、关于形如: 的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用:
可以从公式 中得到启示:式子 与上述公式有点相似,如果把a,b部分变成含sinA,cosA的式子,则形如 的式子都可以变成含 的式子,由于-1≤ ≤1,
所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把a当成sinA,b当成cosA,如式子: 中,不能设sinA=3,cosA=4,考虑:-1≤sinA≤1,-1≤cosA≤1,可以如下处理式子:
由于 。
故可设: ,则 ,即:
∴
无论 取何值,-1≤sin(A±x)≤1,
≤ ≤
即: ≤ ≤
下面观察此式在解决实际极值问题时的应用:
例1(98年全国成人高考数学考试卷)
求:函数 的最大值为(AAAA )
A. B. C. D.
分析: ,再想办法把 变成含 的式子:
于是:
由于这里:
∴
设:
∴
无论A-2x取何值,都有-1≤sin(A-2x)≤1,故 ≤ ≤
∴ 的最大值为 ,即答案选A。
例2 (96年全国成人高考理工科数学试卷)
在△ABC中,已知:AB=2,BC=1,CA= ,分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F,使△DEF为正三角形,记∠FEC=∠α,问:sinα取何值时,△EFD的边长最短?并求此最短边长。
分析:首先,由于 ,可知△ABC为Rt△,其中AB为斜边,所对角∠C为直角,又由于 ,则∠B=
90°—∠A=60°,由于本题要计算△DEF的最短边长,故必要设正△DEF的边长为 ,且要列出有关 为未知数的方程,对 进行求解。观察△BDE,已知:∠B=60°,DE= ,再想办法找出另两个量,即可根据正弦定理列出等式,从而产生关于 的方程。在图中,由于EC= •cosα,则BE=BC-EC=1- •cosα。
而∠B+∠BDE+∠1=180°
∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α
∠B=60°,∠DEF=60°
∴在△BDE中,根据正弦定理:
在这里,要使 有最小值,必须分母: 有最大值,观察:
∴
设: ,则
故:
∴ 的最大值为 。
即: 的最小值为:
而 取最大值为1时,
∴
即: 时,△DEF的边长最短,最短边长为 。
从以上例子可知,形如 适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关,与 的最值有关;其中最大值为 ,最小值为 。在计算三角函数的极值应用题时,只要找出形如 的关系式,即能根据题意,求出相关的极值。
三角函数知识点解题方法总结
一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间(-90º,90º)的公式.
1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);
3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).
二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方);
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);
3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;
4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.
三、见“知1求5”问题,造Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形还可以视其分母为1,转化为sin2α+cos2α.
六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:
1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.
七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;
2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.
八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=???
九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;
2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;
3.同样,利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:
1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);
3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.
十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化.
1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等
角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
倒数关系: 商的关系: 平方关系:
tanα •cotα=1
sinα •cscα=1
cosα •secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α
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