Question

水平面代替水准面的限度

Answer 1

在普通测量工作中是将大地水准面近似地看作圆球面，将地面点投影到圆球面上，然后再投影到平面图纸上描绘，显然这是很复杂的工作。实际测量工作中，在一定的精度要求和测区面积不大的情况下，往往以水平面代替水准面，即把较小一部分地球表面上的点投影到水平面上来决定其位置，这样可以简化计算和绘图工作。

从理论上讲，将极小部分的水准面（曲面）当作水平面也是要产生变形的，它也会对测量观测值（如距离、高差等）带来影响。但是由于测量和制图本身会有不可避免的误差，当这种影响不超过测量和制图本身的误差范围时，认为用水平面代替水准面是可以的，而且是合理的。本节主要讨论用水平面代替水准面对距离和高差的影响（或称地球曲率的影响），以便给出限制水平面代替水准面的限度。

1.对距离的影响

如图1-8所示，设球面（水准面）与水平面在a点相切，a，b两点在球面上的弧长为D，在水平面上的距离（水平距离）为D′，即

图1-8 水平面代替水准面的影响

D=R·θ D′=R·tanθ

式中：R——球面P的半径；

θ——弧长D所对的角度。

以水平面上距离D′代替球面上的弧长D所产生的误差为ΔD，则

ΔD=D′-D=R（tanθ-θ） （1-1）

将（1-1）式中tanθ按级数展开，并略去高次项，得

建筑工程测量

因此

建筑工程测量

以

代入上式，得

建筑工程测量

建筑工程测量

若取地球平均曲率半径R=6371km，并以不同的D值代入（1-2）式或（1-3）式，则可得出距离误差ΔD和相应的相对误差ΔD/D，如表1-1所列。

表1-1 水平面代替水准面的距离误差和相对误差

由表1-1可知，当距离为10km时，用水平面代替水准面（球面）所产生的距离相对误差为1/1220000，目前最精密的距离测量相对误差为1/100万。因此，可以认为在半径为10km的范围内，用水平面代替水准面所产生的距离误差可忽略不计，也就是可不考虑地球曲率对距离的影响。当精度要求较低时，还可以将测量范围的半径扩大到25km。

2.对高差的影响

在图1-8中，a，b两点在同一球面（水准面）上，其高程应相等（即高差为零）。b点投影到水平面上得b′点、则bb′即为水平面代替水准面产生的高差误差。

设bb′=Δh，则（R+Δh）²=R²+D′²

即

2RΔh+Δh²=D′²

建筑工程测量

式中可以用D代替D′，同时Δh与2R相比可略去不计，则

建筑工程测量

以不同的D代入（1-4）式，取R=6371km，则得相应的高差误差值，如表1-2所列。

表1-2 水平面代替水准面的高差误差

由表1-2可知，用水平面代替水准面，在1km的距离上高差误差就有78mm，即使距离为0.1km时，高差误差也有0.8mm。所以，在进行水准（高程）测量时，即使很短的距离都应考虑地球曲率对高差的影响，也就是说，应当用水准面作为测量的基准面。