Question

高中数学几何题求第二问详细过程

Answer 1

解：（2）见下图，作PF⊥AD于F，连结CF，作ME⊥GF于E，作CG⊥AD于G，连结PG；可以看出，ABCD为正方体AB=AP=PG；AF=FG=AB/2，△PGC为等腰直角三角形；△PAG为等边三角形；则： PC=PB=√2AB; 作PH⊥BC于H，PH=√(PC^2+HC^2)=√(2+1/4)AB=3AB/2; 

因为PM=PC/3，所以：MC=(1-1/3)PC=2PC/3; S△MBC=(1/2)BC*(2/3)PC=AB^2/2=2√7/3;

AB^2=4√7/3；AB=√(4√7/3)=2√(√7/3); PF=√(PG^2-FG^2)=√3AB/2；

Vp-ABCD=(1/3)[(BC+AD)*AB/2]*PF=(1/3)*(1/2)*(3AB^3)*(√3/2)=(√3/4)*(4√7/3)*(2√(√7/3)

=2√(7√7)/3。

Answer 2

知道mbc，就知道pbc；知道pbc，就知道边长；知道边长，就知道p-abcd。
关于第二点。pbc三边都能用bc表示出来，满足全等条件，即pbc形状已被bc长度固定，那么面积和bc长必是一一对应。那么先余弦定理，再余弦变正弦，再正弦求面积，即可用边长表示出面积，代入得到唯一解边长。

Answer 3

作CE//AB交AD于点E，连接PE。作PF⊥AD于点F。
∵CE//AB，AD//BC，且∠BAD=90°，AB=BC
∴四边形ABCE是正方形，
∴CE=AB=BC=AE。
设AB=BC=AP=CE=AE=a，则AD=2a。
∵AE=½AD，∴E是AE中点。
则在Rt△APD中，点E是斜边AD的中点，
∴PE=½AD=a，
∴PE=CE。
∵平面ABCD⊥平面PAD，且两平面交于AD，且AB⊥AD，PF⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，PF⊥平面ABCD，
则CE⊥平面PAD，
∴∠CEP=∠BAP=90°。
则BP=CP=√2a。
作PG⊥BC于G，则G是BC的中点，
∴BG=½a，
根据勾股定理计算得PG=√7/2*a。
则△PBC面积是√7/4*a^2。
∵点M在PC上，且PM=⅓PC，
∴S△MBC=2/3*S△PBC=2√7/3，
∴S△PBC=√7=√7/4*a^2，
∴a=2。
则梯形ABCD的面积=(2+4)*2/2=6。
在Rt△APD中，AP=½AD，
∴DAP=60°，
∴PF=AP*sin60°=√3。
四棱锥P-ABCD=⅓PF*SABCD=2√3。