Question

高数题求救

一道高数题例9

Answer 1

提示
1、利用叉积求出直线的方向向量。
2、以直线的方向向量为法向量，利用已知点，通过点法式写出与直线垂直的平面。
3、求出直线与该平面的交点。
4、利用中点公式求出对称点的坐标

Answer 2

点A与点B(2,  5,  0)关于直线：x-y-4z+12=0........①;  2x+y-2z+3=0........②对称，求A的坐标；

解：令①②中的z=0，得x-y+12=0........③,   2x+y+3=0.......④;由③④ 解得：x=-5，y=7；

即C(-5，7，0)是直线L上的任意一点；

所给平面①的法向矢量N₁={1，-1，-4}；平面②的法向矢量N₂={2，1，-2}；

那么它们的交线L的方向矢量N=N₁×N₂

于是直线L的方程可写为：(x+5)/6=(y-7)/(-6)=(z-0)/3=t，即得L的参数方程：

x=6t-5；y=-6t+7；z=3t；............⑤

过B(2，5，0)作垂直于直线L的平面π，那么π的方程为：

6(x-2)-6(y-5)+3(z-0)=6x-6y+3z+18=0；化小系数得：2x-2y+z+6=0.........⑥

将参数方程组⑤代入方程⑥得：2(6t-5)-2(-6t+7)+3t+6=27t-18=0，得t=2/3；

将t=2/3代入方程组⑤即得直线L与平面π的交点D的坐标(-1，3，2)；D是直线AB的中点；

设点A的坐标为(x，y，z)；那么由中点坐标公式得：

(x+2)/2=-1；(y+5)/2=3；(z+0)/2=2；

∴x=-4，y=1，z=4；即对称点A的坐标为(-4，1，4)；

【注：为避免常用符号搞混，把原题中的点M换称为A，点N换称为B。】