Question

设z=f(x,y)是由方程x2+y2+z2-4xyz=0确定的函数，求dz

还有一题，z=f(x,y),z^y=x^z,求dz

Answer 1

要求dz，只要求出z对x和y的两个偏导数即可。方程两边对x求导，得2x+0+2zz'(x)-4yz-4xyz'(x)=0，故z'(x)=(2yz-x)/(z-2xy)；同理可得z'(y)=(2xz-y)/(z-2xy)。代入dz=z'(x)dx+z'(y)dy即可。
另一问题同理。两边先取对数，得ylnz=zlnx，再对x求导得，yz'(x)/z=z/x+z'(x)lnx，由此即得z'(x)。同理，两边对y求导，得lnz+yz'(y)/z=z'(y)lnx，由此即得z'(y)，代入前式即可。