Question

在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，OA=OC，AB=CD。请问四边形ABCD是菱形吗？为什么？

在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，OA=OC，AB=CD。请问四边形ABCD是菱形吗？为什么？有人会做吗？请给出证明过程 。只能用初中知识解答。谢谢。

Answer 1

答：我们知道，菱形是对角线互相垂直平分的平行四边形，或者是四条边相等的平行四边形。从表面上看，平行四边形仅仅是菱形的必要条件，现在此题连平行四边形的条件都不具备，四边形ABCD不可能是菱形。但是，用尺规作图来作这个图形的时候，满足这个图形条件的只能是菱形。满足AC平分∠A，又满足AC被平分，且AB=CD；这三个条件的四边形，只能是菱形。做不出来其它图形。因此，从尺规作图可以证明，此图形为菱形。具体见下图。这道题如果不了解尺规作图的学生，证明的难度相当大。

证明：依题意，以O为圆心以AO=OC为半径做圆分别交AC于A和C，交AD和AB的延长线于M和N，连结MN交AC于H，因为AC平分∠BAD，所以MN⊥AC；在所有的圆中平分直径的弦，一定是直径，由此，可以确定BD一定在圆O的直径上。分别以A和C为圆心，以大于AO小于AM为半径做等圆交AC的垂直平分线于P，分别交BC和AD于E和F，交AN于G；得：AE=CF，连结AF和CE，得CE=AF=AG；连结EF，必过圆O；连结EG，交AC于Q；现在，我们假设D点在E，B点在F或G；因为CE=AF，且EF过O点，但是，∠EAC≠∠CAF；与题中的条件矛盾；所以D点不在E点，B点不在F点。

因为CE=AG，且∠EAC=∠CAG；但是，AQ≠QC；因此，D点不在E点，B点不在G点。

当且仅当DB在AC的垂直平分线上时，才有CD=AB，AO=AC，∠DAC=∠CAB。此时，BD和AC互相垂直平分。很容易证明ABCD是平行四边形。满足菱形的判定条件。证毕。

这是一道难度非常大的证明题，相信高考不会出这样的命题。在美国这类问题应该是大学的几何题。如果参加高考，可以忽略这样的命题证明。

Answer 2

连接OG
∵ABCD是平行四边形
∴AD=BC
OD=OB=1/2BD
∵BD=2AD,AD=1/2BD
∴AD=OD=OB=BC
∴△BOC是等腰三角形
∴∠ACB=∠COB
∵G是AB的中点,F是OD的中点,O是BD的中点
∴OG是△ABC的中位线即OG=1/2BC=1/2AD
且OG∥BC
OF=1/2OD=1/2AD
∴OF=OG
∠AOG=∠ACB
∴∠FOE=180°-∠COB=180°-∠ACB
∠EOG=180°-∠AOG=180°-∠ACB
∴∠FOE=∠EOG
在△EOF和△EOG中
OF=OG
OE=OE
∠FOE=∠EOG
∴△EOF≌△EOG
∴EF=EG