Question

概率论与数理统计题

化简：（A∪B）—A
指出下列各式成立的条件
ABC=A
A∪B∪C=A
A∪B=AB
(A∪B)-A=B
A∪B=A(A上面有一横)
AB=A(A上面有一横)
证明：若事件A，B，C相互独立，则事件A分别与B∪C,BC,B-C相互独立

要详细步骤

Answer 1

（A∪B）—A=A~(表示A非）B，画个韦恩图就可以看出来了
ABC=A成立的条件是B、C都必然发生
A∪B∪C=A成立的条件是A包含事件B和事件C
A∪B=AB成立的条件是A=B
(A∪B)-A=B成立的条件是A不可能发生（根据第一个式子的化简结果可以看出来）
A∪B=A~成立的条件是A不可能发生，B必然发生（证明：假设A不为空集，则必然存在元素x属于集合A，则x属于集合A∪B。因为x不属于A~，所以等式不成立，因此A必为空集。那么A~必为全集，因此B为全集）
AB=A~成立的条件是A必然发生，B不可能发生（证明：假设AB不为空集，则存在元素x属于AB，那么x不属于A~，等式不成立。所以AB为空集，A~为空集，则A必然发生，B不可能发生）

最后面的一个证明题：P(A(B∪C))=P(AB∪AC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(BC)]=P(A)P(B∪C),所以A与B∪C相互独立。
P(A(BC))=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC),所以A与BC相互独立。
P(A(B-C))=P(AB-AC)=P(AB)-P(ABC)=P(A)P(B)-P(A)P(B)P(C)=P(A)[P(B)-P(BC)]=P(A)P(B-C),
所以A与B-C相互独立。
用相互独立的定义证明，当然其中要用到一些事件和概率的性质