Question

一道高数题在线等求解，

Answer 1

设函数f（x）具有二阶导数，g（x）=f（0）（1-x）+f（1）x，则在[0，1]上（　　）

A. 当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）
B. 当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）
C. 当f″（x）≤0时，f（x）≥g（x）
D. 当f″（x）≤0时，f（x）≤g（x）
解析
g（x）是函数f（x）奇偶判断条件的一个特殊情况，f''（x）≥0时，f（x）是凹函数，此时f（x）≤g（x）；f''（x）≤0时，f（x）是凸函数，此时f（x）≥g（x）
解答
【详解1】如果对曲线在区间[a，b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点x1，x2及常数0≤λ≤1，恒有f（（1-λ）x1+λx2）≥（1-λ）f（x1）+λf（x2），则曲线是凸的．
显然此题中x1=0，x2=1，λ=x，则（1-λ）f（x1）+λf（x2）=f（0）（1-x）+f（1）x=g（x），而f（（1-λ）x1+λx2）=f（x），
故当f''（x）≤0时，曲线是凸的，即f（（1-λ）x1+λx2）≥（1-λ）f（x1）+λf（x2），也就是f（x）≥g（x），
故应该选C
【详解2】如果对曲线在区间[a，b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令F（x）=f（x）-g（x）=f（x）-f（0）（1-x）-f（1）x，则F（0）=F（1）=0，且F''（x）=f''（x），故当f''（x）≤0时，曲线是凸的，从而F（x）≥F（0）=F（1）=0，即F（x）=f（x）-g（x）≥0，也就是f（x）≥g（x），
故应该选：C．