Question

已知函数fx=1+lnx,gx=ax+b/x+1,两函数图像的交点P的横坐标为1,且在该点处有相同的切线

已知函数fx=1+lnx,gx=ax+b/x+1,两函数图像的交点P的横坐标为1,且在该点处有相同的切线。
1，求a,b的值
2，求证：当x＞1时，f(x)＜g(x)成立

Answer 1

解：
1、
f'(x)=1/x
g'(x)=a-b/x^2
f'(1)=g'(1)
a-b=1.............(1)
f(1)=g(1)
1=a+b+1........(2)
联立（1）（2）
a=1/2 b=-1/2

2、
设h(x)=f(x)-g(x)=1+lnx-x/2+1/2x-1
=lnx-x/2+1/2x
h'(x)=1/x-1/2-1/2*1/x^2
=2x-x^3-1 / 2x^2
x>1
h'(x)=0
x=1或(根号5±1)/2
导数题列表略
可以得知当x>1时
h'(x)<0 所以f(x)单调减
h(1)=0
h(x)<0 (x>1)
即f(x)-g(x)<0
所以f(x)<g(x) x>1

祝学习进步，望采纳~~