Question

如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心,点F.G分别是棱C

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F．G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．
（1）证明：直线FG1⊥平面FEE1；
（2）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．
（3）求四面体FGAE的体积．

Answer 1

⑴  ⊿FG1D1,⊿FE1C1等腰直角，∴∠G1FE1＝90º   FG1⊥FE1

EE1⊥面CDD1C1   EE1⊥FG1    ∴FG1⊥平面FEE1；

⑵  异面直线E1G1与EA所成角＝∠BAE  AE＝﹙√6/2﹚AB  BE＝AB/√2

∴异面直线E1G1与EA所成角的正弦值＝[AB/√2]/]﹙√6/2﹚AB ]＝√3/3

⑶ 设H 是A1D1上近D1四分点，则FH∥EG

四面体FGAE的体积

＝四面体HGAE的体积

＝﹙1/3﹚×2×[2²×﹙3/4﹚×﹙1/2﹚]

＝1﹙体积单位﹚