Question

一道初中几何证明题

如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且AE＝BC＋CE．求证：∠BAE＝2∠DAM.

Answer 1

如图，做∠BAE平分线交BC于N，过N作AE垂线，垂足为F

易知ΔABN≌ΔAFN，于是AF=AB，FN=BN

由AE=AF+FE=AB+FE=BC+FE=BC+CE，可知FE=CE。进而可以证明RtΔNFE≌RtΔNCE

于是NF=NC，于是N是BC中点。由此容易证明ΔABN≌ΔADM，于是∠BAN=∠DAM。

于是∠BAE=2∠BAN=2∠DAM

Answer 2

证明：设正方形的边长为a,
由于，AE=BC+CE，BC=AD=a，CE=CD-DE=a-DE
所以，AE=2a-DE【1】
在三角形ADE中，用勾股定理，AE²=DE²+AD²=DE²+a²【2】
由【1】，【2】可以得到，DE=3a/4
故，AE=5a/4，
∠BAE=∠AED，sin∠BAE=sin∠AED=AD/AE=4/5，
AM=√(a²+a²/4)=√5a/2，所以,sin∠DAM=DM/AM=√5/5<1/2，所以，∠DAM<π/6，2∠DAM<π/3
cos∠DAM=a/(√5a/2)=2√5/5
sin2∠DAM=2sin∠DAM*cos∠DAM=2*√5/5*2√5/5=4/5
又由于sin∠BAE=4/5，因此sin∠BAE=sin2∠DAM，又因为2∠DAM<π/3，是锐角
故，∠BAE＝2∠DAM.

Answer 3

给你点提示，做BC中点记为F，接下来你只要证∠EAF=∠DAM，用到相似 你自己看看吧

Answer 4

请按照我说的作图
作∠BAE的平分线AF交BC于F点，作FH垂直于AE交点为H
可证得三角形ABF全等于三角形AHF，得到AB=AH，
因为AE＝BC＋CE=AB+CE=AH+CE，所以HE=CE
连接FE，可得三角形FHE全等于三角形FCE
所以FH=FC=BF，得到F为BC 的中点，所以三角形ABF全等于三角形ADM
所以∠BAF=∠DAM=∠HAF
所以∠BAE＝2∠DAM.

Answer 5

证明：在AE上取一点F使AF=AB，连接BF，则，三角形ABF为等腰三角形，过A作AN垂直于BF。连接BM

Answer 6

证明：过点A作角BAE的内角平分线AF与BC相交于点G，与DC的延长线相交于点F
所以角BAF=角EAF=1/2角BAE
因为ABCD是正方形
所以AB=BC=DC=AD
角B=角D=90度
AB平行DF
所以角BAF=角F
角B=角GCF=90度
所以角EAF=角F
所以AE=EF
因为AE=BC+CE
EF=CE+EF
所以AB=CF=AD
所以直角三角形ABG和直角三角形FCG全等（ASA)
所以：BG=CG=1/2BC
因为M是DC的中点
所以DM=1/2DC
所以:BG=DM
因为AB=AD（已证）
角B=角D=90度（已证）
所以直角三角形ABG和直角三角形ADM全等（SAS)
所以角BAF=角DAM
所以角BAE=2角DAM