Question

设函数f(x,y)= xy^2/(x^2+y^4); (x,y)不等于(0,0) 0 ; (x,y)=(0,0) 判断f(x,y)在点(0,0)处的极限与连续性

就是这个函数分为(x,y)等于0和不等于0两种情况，一个得到函数式，一个得到0。这道题怎么做啊？我只知道设x=ky^2，然后代入第一个函数式，化简的结果是k/(k^2+1)。然后该怎么判断就不会了，好像是什么化简结果必须是常数就怎样怎样的。拜托帮帮忙，顺便要是能讲解一下极限与连续性的详细的关系，一般该怎么判断，让我好好掌握一下，那就更好了。
f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4); (x,y)不等于(0,0)
0 ; (x,y)=(0,0)

Answer 1

多元函数要想有极限，必须且只需当(x，y)沿任何方式趋于（0，0）（我只以原点为例说明），
函数f(x，y)有相同的方式。一般证明函数极限存在时不用这个结论，因为比较麻烦。
但证明极限不存在时用这个结论的反面：极限不存在当且仅当有两种不同的方式，使得
函数极限不相等。比如本题：
你找到了两个不同的方式：x＝ky^2，随着k的不同，这是无数种趋于原点的方式，
在这些方式中，极限是k/(K^2+1)，也是随着方式的不同而变化的，因此函数极限不存在。

另外，函数在该点连续，则函数极限必存在且等于改点的函数值。这是充要条件。
反之，极限不存在，或极限存在但不等于函数值，函数在改点不连续。
这些都是最基本的定义，是需要记住的。