Question

已知如图，点P是正方形ABCD内一点，∠PAD=∠PDA=15°，求证△PBC是等边三角形。

Answer 1

用重合法。正方形ABCD内取一点Q 使△QBC是等边三角形。容易计算
∠QAD=∠QDA=15°，射线AQ,AP重合。射线DQ,DP重合。它们的交点Q与P重合，△PBC是等边三角形。

Answer 2

作PM⊥AD，PN⊥BC，
∵△BCP为等边三角形，∴∠PBC=60°，AB=BP，
∵正方形ABCD中∠ABC=90°，
∴∠ABP=30°∴∠BAP=75°，
∴∠DAP=15°，同理∠ADP=15°，
故∠APD=150°．
因为△BCP为等边三角形，所以M、N、P在一条直线上，
故MP=MN-PN，且MN=AB，
PN=32×4=2
3，
故PM=4-2
3，
S△APD=12×4×（4-2
3）=8-4
3．
故答案为 150°，8-4
3．