Question

求助一个有关欧拉积分的问题

题目如图，其中0 < α + 1 < β
谢！

Answer 1

令x^b=y，x＝y^(1/b)，dx＝1/b*y^(1/b－1)dy，
原积分＝1/b积分（从0到无穷）y^((1+a)/b－1)dy/(1+y)
再令y＝t/(1－t)，t＝0对应y＝0，t＝1对应y＝无穷，dt/(1－t)^2=dy
于是
＝1/b*积分（从0到1）t^((1+a)/b－1)*(1－t)^(－(a+1)/b)dt
＝1/b*B((1+a)/b，1－(1+a)/b)
＝1/b*G((1+a)/b，1－(1+a)/b)
＝pi/【bsin((1+a)pi/b)】
其中B是Beta函数，G是Gamma函数。

追问

再令y＝t/(1－t)，
能问下这步是怎么想到的吗？还是就是经验……
Euler积分的换元完全无思路……

追答

这个是需要记住的，对Beta函数来说，可以说只有两个需要记住的变量替换，
y＝t/(1－t)，y=1/(1－t)。实际上两个是一样的，建议你将Beta函数做
t＝y/(1+y)或者t＝1/(1+y)的两个变量替换做一下，你就知道Beta函数做完
上面的变量替换后的形式了，以后遇到此类的积分题，肯定是这种的变量替换。